원운동 1편

EPFL 수업 관련하여 공부한 내용입니다.

시간이 없는 관계로 이미지는 생략하였습니다.

$$x(t)=r\cos (\omega t)$$

$$y(t)=r\sin (\omega t)$$

 

속도는 거리를 시간에 대해 미분하면 된다.

$${\overrightarrow{v}}_x(t)=\frac{dx}{dt}=-r\omega \sin (\omega t)$$

$${\overrightarrow{v}}_y(t)=\frac{dx}{dt}=+r\omega \cos (\omega t)$$

 

이들을 합치면 속도를 구할 수 있다.

$$\overrightarrow{v}=\sqrt{{\overrightarrow{v}}_x^2+{\overrightarrow{v}}_y^2}=r\omega$$

 

가속도는 속도를 시간에 대해 미분하면 된다.

$${\overrightarrow{a}}_x=\frac{d{\overrightarrow{v}}_x}{dt}=-r{\omega }^2\cos (\omega t)$$

$${\overrightarrow{a}}_y=\frac{d{\overrightarrow{v}}_x}{dt}=-r{\omega }^2\sin (\omega t)$$

 

이들을 합치면 가속도를 구할 수 있다.

$$\overrightarrow{a}=\sqrt{{\overrightarrow{a}}_x^2+{\overrightarrow{a}}_y^2}=r{\omega }^2$$

 

생각해보면 수능특강 물리II에서도 언급된 내용이다.

단, 벡터곱을 적용할 경우 조금 머리가 아파지는데 이는 추후에 다룰 예정이다.

 

그리고 이를 뉴턴의 제2 법칙에 적용하고, 중력을 이것저것 넣어주면 아래와 같아진다.

$$\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}=m(r{\omega }^2)=m(r\cdot \frac{{\overrightarrow{v}}^2}{r^2})=m\frac{{\overrightarrow{v}}^2}{r}$$

$$F=m\frac{{\overrightarrow{v}}^2}{r}=G\frac{Mm}{r^2}$$

 

이때 $\mu =GM$이라 가정하면

$$F=\cancel{m}\frac{{\overrightarrow{v}}^2}{\cancel{r}}=\mu \frac{\cancel{m}}{r^{\cancel{2}}}$$

$${\overrightarrow{v}}^2=\frac{\mu }{r}$$

$$\overrightarrow{v}=\sqrt{\frac{\mu }{r}}$$

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