원운동 1편

EPFL 수업 관련하여 공부한 내용입니다.

시간이 없는 관계로 이미지는 생략하였습니다.

$$x(t)=r\cos(\omega t)$$

$$y(t)=r\sin(\omega t)$$

 

속도는 거리를 시간에 대해 미분하면 된다.

$$\vec{v}_{x}(t)=\frac{dx}{dt}=-r\omega\sin(\omega t)$$

$$\vec{v}_{y}(t)=\frac{dx}{dt}=+r\omega\cos(\omega t)$$

 

이들을 합치면 속도를 구할 수 있다.

$$\vec{v}=\sqrt{\vec{v}_{x}^{2}+\vec{v}_{y}^{2}}=r\omega$$

 

가속도는 속도를 시간에 대해 미분하면 된다.

$$\vec{a}_{x}=\frac{d\vec{v}_{x}}{dt}=-r\omega^{2}\cos(\omega t)$$

$$\vec{a}_{y}=\frac{d\vec{v}_{x}}{dt}=-r\omega^{2}\sin(\omega t)$$

 

이들을 합치면 가속도를 구할 수 있다.

$$\vec{a}=\sqrt{\vec{a}_{x}^{2}+\vec{a}_{y}^{2}}=r\omega^{2}$$

 

생각해보면 수능특강 물리II에서도 언급된 내용이다.

단, 벡터곱을 적용할 경우 조금 머리가 아파지는데 이는 추후에 다룰 예정이다.

 

그리고 이를 뉴턴의 제2 법칙에 적용하고, 중력을 이것저것 넣어주면 아래와 같아진다.

$$\vec{F}=m\vec{a}=m(r\omega^{2})=m\left(r\cdot\frac{\vec{v}^{2}}{r^{2}}\right)=m\frac{\vec{v}^{2}}{r}$$

$$F=m\frac{\vec{v}^{2}}{r}=G\frac{Mm}{r^{2}}$$

 

이때 \(\mu=GM\)이라 가정하면

$$F=\cancel{m}\frac{\vec{v}^{2}}{\cancel{r}}=\mu\frac{\cancel{m}}{r^{\cancel{2}}}$$

$$\vec{v}^{2}=\frac{\mu}{r}$$

$$\vec{v}=\sqrt{\frac{\mu}{r}}$$

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