대학원 공부노트

$$p=A{e}^{i(\omega t-kx)}=A{e}^{i\omega }{e}^{-ikx}=A{e}^{i\omega t}{e}^{-ikr\cos \theta }$$ $$(x=r\cos \theta )$$ 이번 페이지에서 다룰 내용은 Fourier-Legendre series를 다룰 예정입니다. 목표는 아래 두 식을 유도해내는 것이에요. $$f(x)=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{P}_n$$ $$a_m=\frac{2m+1}{2}{\int }_{-1}^{1}f(x)P_m(x)dx$$ Step 1: Legendre Polynomial To derive above equations, we need 'Legendre polynomial' $$P_{n}(x)=\sum_{m=0}^{M}{(-1)^{m}\frac{..

[모바일로 보시면 LaTeX이 그대로 보여집니다. 따라서 PC로 보실 것을 적극 권장드립니다.] 해당 글을 보시면 제가 어떤 흐름으로 공부를 하는지 알 수 있습니다. #1. 목표 설정 $$p=A\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}(2n+1)(-i{)}^n{j}_n(kr)P_n(\cos \theta )e^{i\omega t}$$ 해당 식을 유도할 예정이며 다음과 같은 큰 흐름을 따라간다. 식의 출처는 Acoustics and Vibration Animations $$p=A{e}^{i(\omega t-ky)}=A{e}^{i(\omega t)}{e}^{-iky}=A{e}^{i(\omega t)}{e}^{ikr\cos \theta }$$ $$e^{ikr\cos\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}{A_{n}P_{n}(\..

$$\rho {\partial }_t^2{u}_i=\sum _j{\partial }_j(\lambda {\delta }_{ij}\sum _k{\epsilon }_{kk}+\mu ({\partial }_i{u}_j+{\partial }_j{u}_i))$$ 식이 복잡하므로 식을 전개한 뒤 우변을 둘로 나눠 정리하도록 한다. 이때 $\lambda$, $\mu$는 상수이므로 앞으로 자유롭게 이동할 수 있다. $$\lambda \sum _j{\partial }_j{\delta }_{ij}\sum _k{\epsilon }_{kk}+\mu \sum _j{\partial }_j({\partial }_i{u}_j+{\partial }_j{u}_i)$$ 식이 여전히 복잡하므로 조금 더 전개한 뒤..

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보시는 것을 적극 권장 드립니다.] 2편의 글에 걸쳐 우리는 아래와 같이 2개의 식을 유도하였다. $${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}({\partial }_i{u}_j+{\partial }_j{u}_i)$$ $${\tau }_{ij}=\lambda {\delta }_{ij}\sum _k{\epsilon }_{kk}+2\mu {\epsilon }_{ij}$$ 그리고 이 두 식을 결합하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. $$\tau_{ij}=\lambda \delta_{ij}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+\mu(\partial_{i}u_{j}..

지난 글에 이어 다룰 내용은 poisson's ratio부터 시작된다. $$\nu =-\frac{{\epsilon }_{xx}}{{\epsilon }_{yy}}$$ $$\Rightarrow {\epsilon }_{yy}=-\frac{1}{\nu }{\epsilon }_{xx}\cdots (1)$$ $${\sigma }_{yy}=E{\epsilon }_{yy}$$ $$\Rightarrow {\epsilon }_{yy}=\frac{1}{E}{\sigma }_{yy}\cdots (2)$$ 식(1)에 식(2)를 대입하면 아래와 같은 식을 구할 수 있다. $${\epsilon }_{yy}=-\frac{1}{\nu }{\epsilon }_{xx}=\frac{1}{E}{\sigma }_{yy}$$ 이는 $y$ 방향으로 수축할 때 \(..

[해당 페이지는 휴대폰이 아닌 컴퓨터로 보시길 적극 권장 드립니다.] Hasegawa 논문에서 입자는 rigid가 아닌 elastic이라 상정하였으므로 음파에 노출되었을 때 변형이 일어난다. 따라서 입자의 변형(deformation)을 해석하고자 고체역학에서 배운 개념을 도입할 것이며 시작은 용어 정리이다. 전단응력 shear stress: $\tau$ 수직응력 normal stress: $\sigma$ 전단변형률 shear strain: $\gamma$ 수직변형률 normal strain: $\epsilon$ 텐서표기법 tensor notation: ${\tau }_{xy}$ > $x$를 법선벡터(normal vector)로 가지는 평면에 $y$ 방향으로 가하는 힘이다. 그리고..

[해당 페이지는 휴대폰이 아닌 컴퓨터로 보시길 적극 권장 드립니다.] 오늘 다룰 내용은 전적으로 새로운 수학적 기술을 사용해야 할 필요가 없는 평이한 내용을 다룰 것이다. 다만 값이 조금 복잡해 부호 하나만 틀려도 꽤나 애먹는 그런 내용이다. 그리고 아쉽게도 식(8)이 어떻게 나온 것인지에 대한 설명은 담고 있지 않다. $$c_n=-\frac{[F_n{j}_n(x)-x{j}_n^{\prime }(x)]}{[F_n{h}_n^{(2)}(x)-x{h}_n^{(2)\prime }(x)]}\cdots (a)$$ 우리가 기본적으로 사용할 flow는 아래와 같다. $$c_n=\frac{c}{a+bi}$$ $$=\frac{c(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}$$ $$..