대학원 공부노트

$$p=A e^{i(\omega t - kx)}=Ae^{i\omega}e^{-ikx}=Ae^{i\omega t}e^{-ikr\cos\theta}$$ $$(x=r\cos\theta)$$ 이번 페이지에서 다룰 내용은 Fourier-Legendre series를 다룰 예정입니다. 목표는 아래 두 식을 유도해내는 것이에요. $$f(x)=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}P_{n}}$$ $$a_{m}=\frac{2m+1}{2}\int_{-1}^{1}{f(x)P_{m}(x)dx}$$ Step 1: Legendre Polynomial To derive above equations, we need 'Legendre polynomial' $$P_{n}(x)=\sum_{m=0}^{M}{(-1)^{m}\frac{..

[모바일로 보시면 LaTeX이 그대로 보여집니다. 따라서 PC로 보실 것을 적극 권장드립니다.] 해당 글을 보시면 제가 어떤 흐름으로 공부를 하는지 알 수 있습니다. #1. 목표 설정 $$p=A\sum_{n=0}^{\infty}{(2n+1)(-i)^{n}j_{n}(kr)P_{n}(\cos\theta)e^{i\omega t}}$$ 해당 식을 유도할 예정이며 다음과 같은 큰 흐름을 따라간다. 식의 출처는 Acoustics and Vibration Animations $$p=Ae^{i(\omega t-ky)}=Ae^{i(\omega t)}e^{-iky}=Ae^{i(\omega t)}e^{ikr\cos\theta}$$ $$e^{ikr\cos\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}{A_{n}P_{n}(\..

$$\rho\partial_{t}^{2}u_{i}=\sum_{j}{\partial_{j}}\left(\lambda \delta_{ij}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+\mu(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i})\right)$$ 식이 복잡하므로 식을 전개한 뒤 우변을 둘로 나눠 정리하도록 한다. 이때 \(\lambda\), \(\mu\)는 상수이므로 앞으로 자유롭게 이동할 수 있다. $$\lambda \sum_{j}{\partial_{j}\delta_{ij}}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+\mu\sum_{j}{\partial_{j}(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i})}$$ 식이 여전히 복잡하므로 조금 더 전개한 뒤..

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보시는 것을 적극 권장 드립니다.] 2편의 글에 걸쳐 우리는 아래와 같이 2개의 식을 유도하였다. $${\color{blue}\varepsilon_{ij}}=\frac{1}{2}\left(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i}\right)$$ $$\tau_{ij}=\lambda \delta_{ij}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+2\mu{\color{blue}\varepsilon_{ij}}$$ 그리고 이 두 식을 결합하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다. $$\tau_{ij}=\lambda \delta_{ij}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+\mu(\partial_{i}u_{j}..

지난 글에 이어 다룰 내용은 poisson's ratio부터 시작된다. $$\nu=-\frac{\varepsilon_{xx}}{\varepsilon_{yy}}$$ $$\Rightarrow \varepsilon_{yy}=-\frac{1}{\nu}\varepsilon_{xx}\cdots (1)$$ $$\sigma_{yy}=E\varepsilon_{yy}$$ $$\Rightarrow \varepsilon_{yy}=\frac{1}{E}\sigma_{yy}\cdots (2)$$ 식(1)에 식(2)를 대입하면 아래와 같은 식을 구할 수 있다. $$\varepsilon_{yy}=-\frac{1}{\nu}\varepsilon_{xx}=\frac{1}{E}\sigma_{yy}$$ 이는 \(y\) 방향으로 수축할 때 \(..

[해당 페이지는 휴대폰이 아닌 컴퓨터로 보시길 적극 권장 드립니다.] Hasegawa 논문에서 입자는 rigid가 아닌 elastic이라 상정하였으므로 음파에 노출되었을 때 변형이 일어난다. 따라서 입자의 변형(deformation)을 해석하고자 고체역학에서 배운 개념을 도입할 것이며 시작은 용어 정리이다. 전단응력 shear stress: \(\tau\) 수직응력 normal stress: \(\sigma\) 전단변형률 shear strain: \(\gamma\) 수직변형률 normal strain: \(\varepsilon\) 텐서표기법 tensor notation: \(\tau_{xy}\) > \(x\)를 법선벡터(normal vector)로 가지는 평면에 \(y\) 방향으로 가하는 힘이다. 그리고..

[해당 페이지는 휴대폰이 아닌 컴퓨터로 보시길 적극 권장 드립니다.] 오늘 다룰 내용은 전적으로 새로운 수학적 기술을 사용해야 할 필요가 없는 평이한 내용을 다룰 것이다. 다만 값이 조금 복잡해 부호 하나만 틀려도 꽤나 애먹는 그런 내용이다. 그리고 아쉽게도 식(8)이 어떻게 나온 것인지에 대한 설명은 담고 있지 않다. $$c_{n}=-\frac{\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]}{\left[F_{n}h_{n}^{(2)}(x)-xh_{n}^{(2)\prime}(x)\right]}\cdots(a)$$ 우리가 기본적으로 사용할 flow는 아래와 같다. $$c_{n}=\frac{c}{a+bi}$$ $$=\frac{c(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}$$ $$..