Hasegawa equation

 

[모바일로 보시면 LaTeX이 그대로 보여집니다. 따라서 PC로 보실 것을 적극 권장드립니다.]

 

해당 글을 보시면 제가 어떤 흐름으로 공부를 하는지 알 수 있습니다.

 

#1. 목표 설정

$$p=A\sum_{n=0}^{\infty}{(2n+1)(-i)^{n}j_{n}(kr)P_{n}(\cos\theta)e^{i\omega t}}$$

 

해당 식을 유도할 예정이며 다음과 같은 큰 흐름을 따라간다.

식의 출처는 Acoustics and Vibration Animations

 

$$p=Ae^{i(\omega t-ky)}=Ae^{i(\omega t)}e^{-iky}=Ae^{i(\omega t)}e^{ikr\cos\theta}$$

$$e^{ikr\cos\theta}=\sum_{n=0}^{\infty}{A_{n}P_{n}(\cos\theta)}\cdots(a)$$

$$A_{n}=\left(\frac{2n+1}{2}\right)\int_{0}^{\pi}{e^{-ikr\cos\theta}P_{n}(\cos\theta)\sin\theta d\theta}=2\left(\frac{2n+1}{2}\right)(-i)^{n}j_{n}(kr)$$

$$p=Ae^{i(\omega t)}\sum_{n=0}^{\infty}{(2n+1)(-i)^{n}j_{n}(kr)P_{n}(\cos\theta)}$$

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첫 번재, 왜 파동(wave)을 \(e^{i(\omega t-ky)}\) 꼴로 표현하는지 알아보아야 한다.

그리고 이를 이해하기 위해 앞서 다룬 바 있으므로 여기에서는 자세히 다루지 않을 것이다.

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두 번째, 'identity of spherical Bessel integral'에 대해 알아야 한다. 

출처: Digital Library of Mathematical Functions, 10.54 Integral Representations

 

$$j_{n}(kr)=\frac{(-i)^{n}}{2}\int_{0}^{\pi}{e^{ikr\cos\theta}P_{n}(\cos\theta)\sin\theta d\theta}$$

 

해당 식을 유도해내기 위해 다음과 같은 자료를 찾아보았으나 깔끔한 풀이는 찾지 못하였다.

단순한 Bessel function이 아니라 spherical Bessel function이며 이마저도 integral form이라 만만치 않다.

추가적인 공부가 필요할 것으로 보인다.

• Mathematics Stack Exchange, Stuck on nasty integral regarding associated Legendre polynomials and spherical Bessel functions. (2022)
• Mathematics Stack Exchange, How to relate (~) ro (~) in a simple way? (https://math.stackexchange.com/questions/4315664/how-to-relate-int-11eikru-p-elludu-to-j-ellkr-in-a-simple)

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또, 위 링크에서 spherical Bessel integral 유도에 'orthonomality of Legendre polynomials'를 사용하는게 보인다.

이를 위해 orthogonality of Legendre polynomials에 대해 추가적인 학습을 병행하였다.

이미 해당 내용에 대해서는 앞서 간략하게 언급한 바 있다.

원체 중요한 식이다보니 증명하는 방법도 다양하고 변형된 형태도 많다.

(아마 위에서 'orthonomality'는 오타인 것 같고 'orthogonality'가 적절해보인다.)

• planemath.org "orthogonality of Legendre polynomials'
• STEMentor, #7 Fourier Series(5-1. Fourier-Legendre series)
• 12000.org 「Problem#1

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그리고 'orthogonality'를 공부하기 위해서는 'Rodrigues' formula'가 필요하여 이에 대해서도 추가로 공부하였다.

(그냥 받아들인다면 꼭 공부해야할 필요가 있는 식은 아니다. 하지만 Legendre polynomial과 함께 빈번히 등장한다.)

한 번 공부하였으나 따로 정리를 깔끔하게 해두지 않아 다시 보기 어려운 상황이다.

조만간 정리하여 이곳에 기록해두는 편이 좋을 듯 싶다.

• Mathematics Stack Exchange, Proving Bonnets' Recursion with Rodrigues' Formula
• Mathematics Stack Exchange, Stuck understading proof (~) of Legendre Polynomials
• Mathematics Stack Exchange, Legendre Polynomial Orthogonality Integral

 

그리고 식(a)를 증명하기 위해서는 다음과 같은 개념이 필요하다.

$$$$

 

Completness라는 개념이 나오길래 이에 대해 공부하고자 했으나 순수 수학 분야라 생각되어 중단하였다.

학습을 위해 검색하여 참고한 자료는 아래와 같다.

•    1. Mathematics Stack Exchange, Proof that Legendre Polynomials are Complete (2014)
•    2. 피그티의 기초물리, (선형대수학) 5.1 Completeness (2018)
•    3. 네이버 블로그 뉴트리노개미, 수학적 공간들 정리중 (2018)