대학원 공부노트

아래 보이는 \(h_{n}^{(2)}(x)\)는 Hankel function이며 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다. $$h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-in_{n}(x)$$ 그리고 미분을 한 번 해준 \(h_{n}^{(2)}\)는 아래와 같이 구할 수 있다. $$\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^{m}(z^{n+1}f_{n}(z))=z^{n-m+1}f_{n-m}(z)$$ $$\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^{m=1}[x^{n+1}h_{n}^{(2)}(x)]=x^{n-1+1}h_{n-1}^{(2)}(x)$$ $$\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)[x^{n+1}h_{n}^{(2)}(x)]=x^{n}h_{n..

$$\psi(x,t)=f(x^{\prime})=f(x\mp vt)$$ First, differentiate with \(x\) $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x^{\prime}}{\color{blue}\frac{\partial x^{\prime}}{\partial x}}=\frac{\partial f}{\partial x^{\prime}}$$ $$x^{\prime}=x\mp vt$$ $${\color{blue}\frac{\partial x^{\prime}}{\partial x}}=1$$ $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partia..

Associated Legendre Polynomial: $$P_{\ell}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{\ell}(x)$$ 이때 \(x=\cos\theta\)라 한다면 $$P_{\ell}^{m}(x=\cos\theta)=(-1)^{m}(1-\cos^{2}\theta)^{m/2}\frac{d^{m}}{d(\cos\theta)^{m}}P_{\ell}(x=\cos\theta)$$ $$P_{\ell}^{m}(\cos\theta)=(-1)^{m}(\sin^{2}\theta)^{m/2}\frac{d^{m}}{d(\cos\theta)^{m}}P_{\ell}(\cos\theta)$$ $$\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta$$ $$d..

$$(1-x^{2})\frac{d^{2}P_{n}(x)}{dx^{2}}-2x\frac{dP_{n}(x)}{dx}+n(n+1)P_{n}(x)=0$$ $$(1-x^{2})\frac{d^{2}P_{n}(x)}{dx^{2}}+(-2x)\frac{dP_{n}(x)}{dx}+n(n+1)P_{n}(x)=0$$ $$(1-x^{2})\frac{d}{dx}\frac{dP_{n}(x)}{dx}+\frac{d}{dx}(1-x^{2})\frac{dP_{n}(x)}{dx}+n(n+1)P_{n}(x)=0$$ $$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{dP_{n}(x)}{dx}\right]+n(n+1)P_{n}(x)\cdots(a)$$ First, substitute \(n\rightarrow m\) of equ..

$$\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}{r(x)f(x)g(x)dx}=0$$ Here, \(r(x)~\)is nonnegative weight function and we usually put them 1. $$\langle f,g \rangle=\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=0$$ Simple example of orthogonality 1: $$\int_{0}^{2\pi}{\sin x\cos xdx}=0$$ $$u=\sin x$$ $$\frac{du}{dx}=\cos x$$ $$du=\cos x dx$$ $$\sin(x=0)=0~~~~\sin(x=2\pi)=0$$ $$\int_{0}^{0}{u du}=0$$ Simple example of orthogonality 2..

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 적극 권장 드립니다.] $$\frac{d^{2}R(r)}{dr^{2}}+\frac{2}{r}\frac{dR(r)}{dr}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}R(r)-\frac{n(n+1)}{r^{2}}R(r)=0$$ Spherical Bessel function $$x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2x\frac{dy}{dx}+\left(x^{2}-n(n+1)\right)y=0$$ And this is the eqaution we derived from spherical wave equation: $$r^{2}\frac{d^{2}R(r)}{dr^{2}}+2r\frac{dR(r)}{dr}+r^{2}\fra..

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 권장 드립니다.] 공학수학 책에 나와있는 식은 다음과 같은 흐름을 따라 식(1)처럼 표현이 가능하다. $$(1-x^{2})y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+n(n+1)y=0$$ $$(1-x^{2})\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+(-2x)\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0$$ $$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{dy}{dx}\right]+n(n+1)y=0$$ 이때의 해를 Legendre function에 대한 Legendre polynomial, \(y=P_{n}(x)\)라 할 수 있다. $$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{d P_{n}}{..

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 권장 드립니다.] $$\frac{1}{\tau(t)}\frac{1}{c^{2}}\frac{d^{2}\tau(t)}{dt^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}=0$$ $$\frac{d^{2}\tau(t)}{dt^{2}}+\omega^{2}\tau(t)=0$$ 간단한 상미분 미분 방정식(ODE)이므로 직관적으로 아래 식이 해(solution)라는 것을 알 수 있다. $$\tau(t)=e^{i\omega t}$$ $$\frac{d\tau(t)}{dt}=i\omega e^{i\omega t}$$ $$\frac{d^{2}\tau(t)}{dt^{2}}=i^{2}\omega^{2}e^{i\omega t}$$ $$=-\ome..