대학원 공부노트

아래 보이는 $h_n^{(2)}(x)$는 Hankel function이며 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다. $$h_n^{(2)}(x)=j_n(x)-i{n}_n(x)$$ 그리고 미분을 한 번 해준 $h_n^{(2)}$는 아래와 같이 구할 수 있다. $${\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)}^m(z^{n+1}{f}_n(z))=z^{n-m+1}{f}_{n-m}(z)$$ $${\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)}^{m=1}[x^{n+1}{h}_n^{(2)}(x)]=x^{n-1+1}{h}_{n-1}^{(2)}(x)$$ $$\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)[x^{n+1}h_{n}^{(2)}(x)]=x^{n}h_{n..

$$\psi (x,t)=f(x^{\prime })=f(x\mp vt)$$ First, differentiate with $x$ $$\frac{\partial \psi }{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x^{\prime }}\frac{\partial x^{\prime }}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x^{\prime }}$$ $$x^{\prime }=x\mp vt$$ $$\frac{\partial x^{\prime }}{\partial x}=1$$ $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partia..

Associated Legendre Polynomial: $$P_{\ell }^m(x)=(-1{)}^m(1-x^2{)}^{m/2}\frac{d^m}{d{x}^m}{P}_{\ell }(x)$$ 이때 $x=\cos \theta$라 한다면 $$P_{\ell }^m(x=\cos \theta )=(-1{)}^m(1-{\cos }^2\theta {)}^{m/2}\frac{d^m}{d(\cos \theta {)}^m}{P}_{\ell }(x=\cos \theta )$$ $$P_{\ell }^m(\cos \theta )=(-1{)}^m({\sin }^2\theta {)}^{m/2}\frac{d^m}{d(\cos \theta {)}^m}{P}_{\ell }(\cos \theta )$$ $$\frac{dx}{d\theta }=-\sin \theta$$ $$d..

$$(1-x^2)\frac{d^2{P}_n(x)}{d{x}^2}-2x\frac{d{P}_n(x)}{dx}+n(n+1)P_n(x)=0$$ $$(1-x^2)\frac{d^2{P}_n(x)}{d{x}^2}+(-2x)\frac{d{P}_n(x)}{dx}+n(n+1)P_n(x)=0$$ $$(1-x^2)\frac{d}{dx}\frac{d{P}_n(x)}{dx}+\frac{d}{dx}(1-x^2)\frac{d{P}_n(x)}{dx}+n(n+1)P_n(x)=0$$ $$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d{P}_n(x)}{dx}]+n(n+1)P_n(x)\cdots (a)$$ First, substitute $n\to m$ of equ..

$$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}r(x)f(x)g(x)dx=0$$ Here, $r(x)$is nonnegative weight function and we usually put them 1. $$⟨f,g⟩={\int }_a^{b}f(x)g(x)dx=0$$ Simple example of orthogonality 1: $${\int }_0^{2\pi }\sin x\cos xdx=0$$ $$u=\sin x$$ $$\frac{du}{dx}=\cos x$$ $$du=\cos xdx$$ $$\sin (x=0)=0\sin (x=2\pi )=0$$ $${\int }_0^{0}udu=0$$ Simple example of orthogonality 2..

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 적극 권장 드립니다.] $$\frac{d^{2}R(r)}{d{r}^2}+\frac{2}{r}\frac{dR(r)}{dr}+\frac{{\omega }^2}{c^2}R(r)-\frac{n(n+1)}{r^2}R(r)=0$$ Spherical Bessel function $$x^2\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+2x\frac{dy}{dx}+(x^2-n(n+1))y=0$$ And this is the eqaution we derived from spherical wave equation: $$r^{2}\frac{d^{2}R(r)}{dr^{2}}+2r\frac{dR(r)}{dr}+r^{2}\fra..

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 권장 드립니다.] 공학수학 책에 나와있는 식은 다음과 같은 흐름을 따라 식(1)처럼 표현이 가능하다. $$(1-x^2)y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+n(n+1)y=0$$ $$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+(-2x)\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0$$ $$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+n(n+1)y=0$$ 이때의 해를 Legendre function에 대한 Legendre polynomial, $y=P_n(x)$라 할 수 있다. $$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{d P_{n}}{..

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 권장 드립니다.] $$\frac{1}{\tau (t)}\frac{1}{c^2}\frac{d^2\tau (t)}{d{t}^2}+\frac{{\omega }^2}{c^2}=0$$ $$\frac{d^2\tau (t)}{d{t}^2}+{\omega }^2\tau (t)=0$$ 간단한 상미분 미분 방정식(ODE)이므로 직관적으로 아래 식이 해(solution)라는 것을 알 수 있다. $$\tau (t)=e^{i\omega t}$$ $$\frac{d\tau (t)}{dt}=i\omega e^{i\omega t}$$ $$\frac{d^2\tau (t)}{d{t}^2}=i^2{\omega }^2{e}^{i\omega t}$$ $$=-\ome..