파동 방정식(wave equation) #2

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[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 권장 드립니다.]

$$\frac{1}{\tau (t)}\frac{1}{c^2}\frac{d^2\tau (t)}{d{t}^2}+\frac{{\omega }^2}{c^2}=0$$

$$\frac{d^2\tau (t)}{d{t}^2}+{\omega }^2\tau (t)=0$$

 

간단한 상미분 미분 방정식(ODE)이므로 직관적으로 아래 식이 해(solution)라는 것을 알 수 있다.

$$\tau (t)=e^{i\omega t}$$

$$\frac{d\tau (t)}{dt}=i\omega e^{i\omega t}$$

$$\frac{d^2\tau (t)}{d{t}^2}=i^2{\omega }^2{e}^{i\omega t}$$

$$=-{\omega }^2{e}^{i\omega t}$$

 

대입해보면 성립함을 알 수 있다.

$$-{\omega }^2{e}^{i\omega t}+{\omega }^2\left(e^{i\omega t}\right)=0$$

 

이렇게 구한 해당 항은 시간에 대한 항이다.

 

두 번째 식도 동일하다.

다만 Hasegawa(1969)의 식(3)과 식(4)를 보면 $\varphi$항이 없다.

$$\psi =\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{a}_n{j}_n(k_1\mathbf{r})P_n(\cos \theta )e^{i\omega t}\cdots (3)$$

$$A_{\phi }=\sum _{n=0}^{\mathrm{\infty }}{b}_n{j}_n(k_2\mathbf{r})\frac{d}{d\theta }{P}_n(\cos \theta )e^{i\omega t}\cdots (4)$$

이는 $\varphi$를 표시하는 면에 수직(normal)한 방향으로 평면파(plane wave)가 입사되기 때문이다.

모든 $\varphi$에서 동일하므로 무시할 수 있다.