파동 방정식(wave equation) #2

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[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 권장 드립니다.]

$$\frac{1}{\tau(t)}\frac{1}{c^{2}}\frac{d^{2}\tau(t)}{dt^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}=0$$

$$\frac{d^{2}\tau(t)}{dt^{2}}+\omega^{2}\tau(t)=0$$

 

간단한 상미분 미분 방정식(ODE)이므로 직관적으로 아래 식이 해(solution)라는 것을 알 수 있다.

$$\tau(t)=e^{i\omega t}$$

$$\frac{d\tau(t)}{dt}=i\omega e^{i\omega t}$$

$$\frac{d^{2}\tau(t)}{dt^{2}}=i^{2}\omega^{2}e^{i\omega t}$$

$$=-\omega^{2}e^{i\omega t}$$

 

대입해보면 성립함을 알 수 있다.

$$-\omega^{2}e^{i\omega t}+\omega^{2}\left(e^{i\omega t}\right)=0$$

 

이렇게 구한 해당 항은 시간에 대한 항이다.

 

두 번째 식도 동일하다.

다만 Hasegawa(1969)의 식(3)과 식(4)를 보면 \(\phi\)항이 없다.

$$\psi=\sum_{n=0}^{\infty}{a_{n}j_{n}(k_{1}\mathbf{r})P_{n}(\cos\theta)e^{i\omega t}}\cdots(3)$$

$$A_{\varphi}=\sum_{n=0}^{\infty}{b_{n}j_{n}(k_{2}\mathbf{r})\frac{d}{d\theta}P_{n}(\cos\theta)e^{i\omega t}}\cdots(4)$$

이는 \(\phi\)를 표시하는 면에 수직(normal)한 방향으로 평면파(plane wave)가 입사되기 때문이다.

모든 \(\phi\)에서 동일하므로 무시할 수 있다.