파동 방정식(wave equation) #1

pixabay

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 권장 드립니다.]

 

This is wave equation in Cartesian coordinates:

*I'll upload the article about how to derive wave equation from simple newton's second law later :)

$$\frac{\partial^{2} u}{\partial t^{2}}=c^{2}\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}$$

 

Spherical coordinates:

*I'll upload the article about how to convert Cartesian to spherical later :)

$$ \frac{1}{r^{2}}\frac{\partial}{\partial r}\left(r^{2}\frac{\partial f}{\partial r}\right) + \frac{1}{r^{2}\sin\theta}\frac{\partial}{\partial \theta} \left( \sin\theta\frac{\partial f}{\partial \theta} \right) + \frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \frac{\partial^{2}f}{\partial\phi^{2}} = \frac{1}{c^{2}}\frac{\partial^{2}f}{\partial t^{2}}\cdots(a)$$

 

1st step: Arrange 1st term

$$\frac{1}{r^{2}} \left( \frac{\partial}{\partial r} (r^{2})\frac{\partial f}{\partial r} + r^{2} \frac{\partial}{\partial r} \left( \frac{\partial f}{\partial r} \right) \right) $$

$$=\frac{2}{r}\frac{\partial f}{\partial r}+1\cdot\frac{\partial^{2}f}{\partial r^{2}}$$

 

2st step: define the function \(f(r, \theta, \phi, t)\)

$$f(r,\theta,\phi,t)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\tau(t)$$

$$\frac{\partial f}{\partial r}=\Theta(\theta)\Phi(\phi)\frac{\partial R(r)}{\partial r}$$

$$=\Theta(\theta)\Phi(\phi)\tau(t)\frac{d R(r)}{dr}$$

$$=\frac{f(r, \theta, \phi, t)}{R(r)}\frac{d R(r)}{dr}$$

 

참고:

$$f(r,\theta,\phi,t)=R(r)\Theta(\theta)\Phi(\phi)\tau(t)$$

$$\Theta(\theta)\Phi(\phi)\tau(t)=\frac{f(r, \theta, \phi, t)}{R(r)}$$

 

그리고 위 논리를 식(a)에 적용하면 다음과 같다.

$$\frac{f}{R(r)}\left[\frac{2}{r}\frac{dR(r)}{dr}+\frac{d^{2}R(r)}{dr}\right]+\frac{f}{\Theta(\theta)}\left[ \frac{1}{r^{2}\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta} \right) \right] + \frac{f}{\Phi(\phi)} \frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \frac{d^{2}\Phi}{d\phi^{2}} = \frac{1}{c^{2}} \frac{d^{2}\tau}{dt^{2}} \frac{f}{\tau(t)}$$

 

식을 조금 정리해주면

$$\frac{1}{R(r)}\left[\frac{2}{r}\frac{dR(r)}{dr}+\frac{d^{2}R(r)}{dr}\right]+\frac{1}{\Theta(\theta)}\left[ \frac{1}{r^{2}\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta} \right) \right] + \frac{1}{\Phi(\phi)} \frac{1}{r^{2}\sin^{2}\theta} \frac{d^{2}\Phi}{d\phi^{2}} = \frac{1}{c^{2}} \frac{d^{2}\tau}{dt^{2}} \frac{1}{\tau(t)}$$

 

여기서 파동에 대한 물리적인 개념을 도입한다.

(이에 대한 설명은 나중에 다룰 예정이다. 매우 흥미로운 내용이다.)

$$\kappa=\frac{2\pi}{\lambda}=\frac{2\pi f}{\lambda f}=\frac{\omega}{c}$$

$$\kappa^{2}=\frac{\omega^{2}}{c^{2}}$$

 

식이 복잡하므로 한 번에 풀어내는 것은 불가능하다. 항 하나씩 나눠 풀어야한다.

$$\frac{1}{c^{2}} \frac{d^{2}\tau}{dt^{2}} \frac{1}{\tau(t)}=-\frac{\omega^{2}}{c^{2}}=-\kappa^{2}\cdots(b)$$

 

그 다음에는 양변에 \(r^{2}\sin^{2}\theta\)를 곱해준다.

$$ \frac{{\color{blue}r^{2}\sin^{2}\theta}}{R(r)} \left( \frac{d^{2}R(r)}{dr^{2}}+\frac{2}{r}\frac{dR(r)}{dr} \right) + \frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d\Theta(\theta)}{d\theta} \right) + \frac{1}{\Phi(\phi)} \frac{d^{2}\Phi(\phi)}{d\phi^{2}} = {\color{red}-\frac{\omega^{2}}{c^{2}}} \frac{{\color{blue}r^{2}\sin^{2}\theta}}{1} $$

$$ \frac{r^{2}\sin^{2}\theta}{R(r)} \left( \frac{d^{2}R(r)}{dr^{2}} + \frac{2}{r} \frac{dR(r)}{dr} + {\color{red}\frac{\omega^{2}}{c^{2}}} R(r) \right) + \frac{\sin\theta}{\Theta(\theta)} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta} \right) =-\frac{d^{2}\Phi(\phi)}{d\phi^{2}}=m^{2}$$

 

이렇게 하면 식을 하나 더 구할 수 있다.

$$-\frac{d^{2}\Phi(\phi)}{d\phi^{2}}=m^{2}\cdots(c)$$

 

다시 위에서 취한 행동을 반복하면

$$ \frac{r^{2}}{R(r)} \left( \frac{d^{2}R(r)}{dr^{2}} + \frac{2}{r} \frac{dR(r)}{dr} + \frac{\omega^{2}}{c^{2}}R(r) \right) = - \frac{1}{\Theta(\theta)} \frac{1}{{\color{blue}\sin\theta}} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta} \right) + \frac{m^{2}}{{\color{blue}\sin^{2}\theta}} $$

 

마지막으로 정리해주면 아래와 같다.

$$\frac{r^{2}}{R(r)} \left( \frac{d^{2}R(r)}{dr^{2}} + \frac{2}{r} \frac{dR(r)}{dr} + \frac{\omega^{2}}{c^{2}}R(r) \right) = - \frac{1}{\Theta(\theta)} \frac{1}{{\color{blue}\sin\theta}} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta} \right) + \frac{m^{2}}{\sin^{2}\theta}=(n+1)n$$

 

$$\frac{r^{2}}{R(r)} \left( \frac{d^{2}R(r)}{dr^{2}} + \frac{2}{r} \frac{dR(r)}{dr} + \frac{\omega^{2}}{c^{2}} R(r) \right) = n(n+1)\cdots(d)$$

$$ - \frac{1}{\Theta(\theta)} \frac{1}{\sin\theta} \frac{d}{d\theta} \left( \sin\theta \frac{d\Theta(\theta)}{d\theta} \right) + \frac{m^{2}}{\sin^{2}\theta} = n(n+1)\cdots(e) $$

 

그럼 지금까지 정리해낸 식들을 정리하면 아래와 같다.

$$\frac{1}{\tau(t)}\frac{1}{c^{2}}\frac{d^{2}\tau(t)}{dt^{2}}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}=0\cdots(b)$$

$$-\frac{d^{2}\Phi(\phi)}{d\phi^{2}}=m^{2}\cdots(c)$$

$$\frac{d^{2}R(r)}{dr^{2}}+\frac{2}{r}\frac{dR(r)}{dr}+\frac{\omega^{2}}{c^{2}}R(r)-\frac{n(n+1)R(r)}{r^{2}}\cdots(d)$$

$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta}\right) + \left[ (n+1)n - \frac{m^{2}}{\sin^{2}\theta} \right]\Theta(\theta) =0\cdots(e)$$

 

그리고 각각의 식들에 대한 풀이는 다음 글에서 다루도록 하겠다.

 

Reference

Youtube, Vidya-mitra 「Three dimensional wave equation (Maths)」

조금은 느리게 살자, 구 좌표계의 전자장 표현식(Electromagnetic Field Representations in Spherical Coordinates)