파동 방정식(wave equation) #3

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[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 권장 드립니다.]

공학수학 책에 나와있는 식은 다음과 같은 흐름을 따라 식(1)처럼 표현이 가능하다.

$$(1-x^2)y^{\prime \prime }-2x{y}^{\prime }+n(n+1)y=0$$

$$(1-x^2)\frac{d^{2}y}{d{x}^2}+(-2x)\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0$$

$$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{dy}{dx}]+n(n+1)y=0$$

 

이때의 해를 Legendre function에 대한 Legendre polynomial, $y=P_n(x)$라 할 수 있다.

$$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d{P}_n}{dx}]+n(n+1)P_n=0\cdots (1)$$

 

이번에는 $x=\cos \theta$라 하자.

$$\frac{dx}{d\theta }=\frac{d}{d\theta }\cos \theta =-\sin \theta$$

$$dx=-\sin \theta d\theta$$

 

$$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d{P}_n}{dx}]+n(n+1)P_n=0\cdots (1)$$

$$\frac{d}{-\sin \theta d\theta }[(1-{\cos }^2\theta )\frac{d{P}_n}{-\sin \theta d\theta }]+n(n+1)P_n=0$$

$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d{P}_n}{d\theta })+n(n+1)P_n=0$$

 

그리고 위 식은 우리가 앞서 파동방정식에서 구한 식과 매우 흡사하다.

$$\frac{1}{\sin \theta }\frac{d}{d\theta }(\sin \theta \frac{d\mathrm{\Theta }(\theta )}{d\theta })+[(n+1)n-\frac{m^2}{{\sin }^2\theta }]\mathrm{\Theta }(\theta )=0$$

 

그래서 조금 더 알아본 결과 'associated Legendre polynomials'를 찾을 수 있었다. 식은 아래와 같다.

$$\frac{d}{dx}[(1-x^2)\frac{d}{dx}{P}_{\ell }^m(x)]+[\ell (\ell +1)-\frac{m^2}{1-x^2}]P_{\ell }^m(x)=0$$

 

그리고 위에서 했던 작업을 동일하게 해주면 우리가 파동방정식에서 구한 식을 유도해낼 수 있다.

따라서, 파동방정식에서 도출된 여러 식 중 하나의 식이 Legendre polynomial을 해(solution)로 가진다는 말이 된다.

 

 

Reference

Advanced Engineering Mathematics 10th edition p.175

Wikipedia, Associated Legendre polynomials