파동 방정식(wave equation) #3

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[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보실 것 권장 드립니다.]

공학수학 책에 나와있는 식은 다음과 같은 흐름을 따라 식(1)처럼 표현이 가능하다.

$$(1-x^{2})y^{\prime\prime}-2xy^{\prime}+n(n+1)y=0$$

$$(1-x^{2})\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+(-2x)\frac{dy}{dx}+n(n+1)y=0$$

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{dy}{dx}\right]+n(n+1)y=0$$

 

이때의 해를 Legendre function에 대한 Legendre polynomial, \(y=P_{n}(x)\)라 할 수 있다.

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{d P_{n}}{dx}\right]+n(n+1)P_{n}=0\cdots(1)$$

 

이번에는 \(x=\cos\theta~\)라 하자.

$$\frac{dx}{d\theta}=\frac{d}{d\theta}\cos\theta=-\sin\theta$$

$$dx=-\sin\theta d\theta$$

 

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{d P_{n}}{dx}\right]+n(n+1)P_{n}=0\cdots(1)$$

$$\frac{d}{-\sin\theta d\theta}\left[(1-\cos^{2}\theta)\frac{dP_{n}}{-\sin\theta d\theta}\right]+n(n+1)P_{n}=0$$

$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{dP_{n}}{d\theta}\right)+n(n+1)P_{n}=0$$

 

그리고 위 식은 우리가 앞서 파동방정식에서 구한 식과 매우 흡사하다.

$$\frac{1}{\sin\theta}\frac{d}{d\theta}\left(\sin\theta\frac{d\Theta(\theta)}{d\theta}\right)+\left[(n+1)n-\frac{m^{2}}{\sin^{2}\theta}\right]\Theta(\theta)=0$$

 

그래서 조금 더 알아본 결과 'associated Legendre polynomials'를 찾을 수 있었다. 식은 아래와 같다.

$$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{d}{dx}P_{\ell}^{m}(x)\right]+\left[\ell(\ell+1)-\frac{m^{2}}{1-x^{2}}\right]P_{\ell}^{m}(x)=0$$

 

그리고 위에서 했던 작업을 동일하게 해주면 우리가 파동방정식에서 구한 식을 유도해낼 수 있다.

따라서, 파동방정식에서 도출된 여러 식 중 하나의 식이 Legendre polynomial을 해(solution)로 가진다는 말이 된다.

 

 

Reference

Advanced Engineering Mathematics 10th edition p.175

Wikipedia, Associated Legendre polynomials