대학원 공부노트

시간관계상 앞부분에 대한 내용은 생략하고 진행합니다. $$\varepsilon=\varepsilon_{x}\cos^{2}\phi+\gamma_{xy}\sin\phi\cos\phi+\varepsilon_{y}\sin^{2}\phi\cdots(1)$$ 이를 변형된 좌표계에 맞춰 바꿔주면 다음과 같다. $$\varepsilon=\varepsilon_{x^{\prime}}\cos^{2}(\phi-\theta)+\gamma_{x^{\prime}y^{\prime}}\sin(\phi-\theta)\cos(\phi-\theta)+\varepsilon_{y^{\prime}}\sin^{2}(\phi-\theta)$$ 이때 \(\psi=\phi-\theta\)라 하면 다음과 같이 정리할 수 있다. $$\varepsilon=..

지난번 strain energy (1)에 이어 작성합니다. 한 글에 내용이 너무 길면 보기 싫어지고, 읽기도 귀찮아지므로 2편으로 나누었습니다. 앞선 글에서는 단위 부피당 변형 에너지를 구하였으나 이번에는 그냥 변형 에너지를 구하고자 한다. $$U=\iint{\sigma_{x}d\varepsilon_{xx}dV}$$ 계산의 편의를 위해 안에 있는 적분을 먼저 수행해주도록 한다. $$\int{E\varepsilon_{xx}d\varepsilon_{xx}}$$ $$=\frac{1}{2}E\varepsilon_{x}^{2}=\frac{1}{2}\sigma_{x}\varepsilon_{x}=\frac{1}{2E}\sigma_{x}^{2}$$ 계산을 마치면 다시 적분항에 넣어준다. $$U=\int{\frac{\s..

변형에너지 Strain energy 우선, 변형을 유발한 힘이 수행한 일(work)에서부터 식을 시작한다. $$dW=F\cdot dS\cdots (1)$$ 그 다음 수직응력(normal stress)에 대한 식을 가져온다. $$\sigma_{x}=\frac{F}{dA}=\frac{F}{dydz}\Rightarrow F=\sigma_{x}(dydz)\cdots(2)$$ 그 다음 식(1)에 식(2)를 대입해주고 식을 정리하면 다음과 같아진다. $$dW=F\cdot dS=\sigma_{x} ~dS(dydz)\cdots(3)$$ 그 다음은 변형률(strain or strain rate) 개념을 도입한다. $$dS=\delta$$ $$\varepsilon_{x}=\frac{\ell-\ell_{0}}{\ell_{0..

지난 글에 이어 작성합니다. 3차원에서 물체의 질량은 체적밀도와 부피의 곱으로 정의된다. 이때 2차원을 다룰 경우 물체의 질량은 면적밀도와 면적의 곱으로 정의할 수 있다. $$$$ 이를 그대로 \(f(x)\) $$A=\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]dx}$$ $$M=\rho \int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]dx}$$ $$M_{x-axis}=m_{i}y_{i}$$ $$y_{i}=\frac{f(x)+g(x)}{2}$$ * \(x\)축을 기준으로 \(y\)높이 만큼 떨어진 거리에서 모멘트를 구하므로 \(y_{i}\)가 언급된 것이다. * 우리는 해당 면적이 균질하다고 가정하므로 평균을 적용해 \(y_{i}\)를 표현할 수 있다. 위 식을 정리해보면 $$M=m\times r$$ $$=\rh..

모멘트(Moment) $$M=r\times d$$ 그리고 받침점으로부터 왼쪽으로 측정한 길이는 음수로 둔다고 가정하자. 반대로 받침점으로부터 오른쪽으로 측정한 길이는 양수로 둔다. \(x_{0}\)는 얼마만큼 이동해야하는지 길이(크기)를 나타내므로 항상 양수라 가정한다. $$m_{1}(-x_{1}-x_{0})+m_{2}(x_{2}-x_{0})=0$$ $$-m_{1}x_{1}-m_{1}x_{0}+m_{2}x_{2}-m_{2}x_{0}=0$$ $$-m_{1}x_{12}+m_{2}x_{2}=m_{1}x_{0}+m_{2}x_{0}$$ $$m_{1}(-x_{1})+m_{2}x_{2}=(m_{1}+m_{2})x_{0}$$ $$x_{0}=\frac{m_{1}(-x_{1})+m_{2}x_{2}}{m_{1}+m_{2}}..

\(d\)는 평행축으로부터 무게중심축까지의 거리이다. \(x\)는 무게중심축으로부터 임의의 질량까지의 거리이다. 이를 기반으로 질량관성모멘트 식을 전개하면 아래와 같아진다. $$I=mr^{2}$$ $$I=m(d+x)^{2}$$ $$I=m(x^{2}+2dx+d^{2})$$ Here we can substitute \(mx^{2}\) $$I=mx^{2}=I_{CM}$$ $$I=I_{CM}+d^{2}\Sigma m +m2xd$$ And \(\Sigma m=M\) with \(\Sigma mx=0\) $$I=I_{CM}+d^{2}M$$ 아래 식이 나오는 이유는 간단하다. $$\Sigma mx=0$$ \(x\)는 무게중심으로부터 임의의 질량까지의 거리인데 이는 무게중심이므로 모든 곳의 합은 0이 된다. 이름이 평..

[Please insert the figure later, for better explanation] $$\sigma_{x}=\frac{P}{A_{x}}$$ $$\sigma_{x}^{\prime}=\frac{P\cos\theta}{A_{x}^{\prime}}$$ $$A_{x}^{\prime}=\frac{A_{x}}{\cos\theta}$$ $$\sigma_{x}^{\prime}=\frac{P\cos\theta}{1}\times\frac{\cos\theta}{A_{x}}=\frac{P}{A_{x}}\cos^{2}\theta=\sigma_{x}\cos^{2}\theta$$ $$\sigma_{x}^{\prime}=\sigma_{x}\cos^{2}\theta$$ $$\tau_{x^{\prime}y^{\prime..

Moment $$dM=dF\times r\cdots(1)$$ Here, \(F\) is $$F=ma\cdots(2)$$ And \(\vec{a}\) is $$l=r\theta$$ $$\frac{dl}{dt}=r\frac{d\theta}{dt}+\theta\frac{dr}{dt}$$ $$\vec{v}=\frac{dl}{dt}=r\frac{d\theta}{dt}=r\omega~~(r=const)$$ $$\vec{v}=r\omega$$ $$\frac{d\vec{v}}{dt}=r\frac{d\omega}{dt}+\omega\frac{dr}{dt}$$ $$\vec{a}=\frac{d\vec{v}}{dt}=r\frac{d\omega}{dt}=r\alpha~~(r=const)$$ $$\vec{a}=r\alpha\cd..