Strain Energy (1)

변형에너지 Strain energy

우선, 변형을 유발한 힘이 수행한 일(work)에서부터 식을 시작한다.

$$dW=F\cdot dS\cdots (1)$$

 

그 다음 수직응력(normal stress)에 대한 식을 가져온다.

$${\sigma }_x=\frac{F}{dA}=\frac{F}{dydz}\Rightarrow F={\sigma }_x(dydz)\cdots (2)$$

 

그 다음 식(1)에 식(2)를 대입해주고 식을 정리하면 다음과 같아진다.

$$dW=F\cdot dS={\sigma }_{x}dS(dydz)\cdots (3)$$

 

그 다음은 변형률(strain or strain rate) 개념을 도입한다.

$$dS=\delta$$

$${\epsilon }_x=\frac{\ell -{\ell }_0}{{\ell }_0}=\frac{\delta }{\ell }=\frac{\delta }{dx}\Rightarrow \delta ={\epsilon }_{xx}dx$$

$$dS=\delta ={\epsilon }_{xx}dx=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)dx\cdots (4)$$

 

식(4)을 식(3)에 대입하면 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$dW={\sigma }_{x}dS(dydz)={\sigma }_x\left(\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)(dydz)$$

 

그리고 변화한 길이에 대하여 수행한 일이므로 적분을 적용해주면 아래와 같아진다.

$$dW=\int {\sigma }_x\frac{\partial u}{\partial x}(dxdydz)$$

 

그리고 적분 안의 값들을 적절하게 묶어 정리해준다.

$$dW=\int {\sigma }_{x}d{\epsilon }_{xx}(dxdydz)$$

 

추가로, 단위 부피당 변형 에너지는 변형 에너지를 부피로 나눠주면 된다.

$$U_0=\frac{dW}{dV}=\int {\sigma }_{x}d{\epsilon }_{xx}$$

 

이때 ${\sigma }_x=E{\epsilon }_x$이므로

$$U_0=\int E{\epsilon }_{x}d{\epsilon }_x=\frac{1}{2}E{\epsilon }_x^2$$

 

여기서 더 정리할 수 있다. 다시 ${\sigma }_x=E{\epsilon }_x$이므로

$$U_0=\frac{1}{2}E{\epsilon }_x^2=\frac{1}{2}E{\epsilon }_x{\epsilon }_x=\frac{1}{2}{\sigma }_x{\epsilon }_x$$

 

다시, ${\sigma }_x=E{\epsilon }_x$이므로

$$U_0=\frac{1}{2}{\sigma }_x{\epsilon }_x=\frac{1}{2}\frac{1}{E}{\sigma }_{x}E{\epsilon }_x=\frac{1}{2E}{\sigma }_x^2$$

 

$$U_0=\frac{1}{2E}{\sigma }_x^2$$

 

나중에 기회가 되면 해당 그래프가 strain-stress curve의 아랫면의 면적과 동일하다는 그림을 첨부하고자 한다.