Strain Energy (1)

변형에너지 Strain energy

우선, 변형을 유발한 힘이 수행한 일(work)에서부터 식을 시작한다.

$$dW=F\cdot dS\cdots (1)$$

 

그 다음 수직응력(normal stress)에 대한 식을 가져온다.

$$\sigma_{x}=\frac{F}{dA}=\frac{F}{dydz}\Rightarrow F=\sigma_{x}(dydz)\cdots(2)$$

 

그 다음 식(1)에 식(2)를 대입해주고 식을 정리하면 다음과 같아진다.

$$dW=F\cdot dS=\sigma_{x} ~dS(dydz)\cdots(3)$$

 

그 다음은 변형률(strain or strain rate) 개념을 도입한다.

$$dS=\delta$$

$$\varepsilon_{x}=\frac{\ell-\ell_{0}}{\ell_{0}}=\frac{\delta}{\ell}=\frac{\delta}{dx}\Rightarrow \delta=\varepsilon_{xx}~dx$$

$$dS=\delta=\varepsilon_{xx}~dx=\left(\frac{\partial u}{\partial x}\right)dx\cdots(4)$$

 

식(4)을 식(3)에 대입하면 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$dW=\sigma_{x}~dS(dydz)=\sigma_{x}\left(\frac{\partial u}{\partial x}dx\right)(dydz)$$

 

그리고 변화한 길이에 대하여 수행한 일이므로 적분을 적용해주면 아래와 같아진다.

$$dW=\int{\sigma_{x}\frac{\partial u}{\partial x}(dxdydz)}$$

 

그리고 적분 안의 값들을 적절하게 묶어 정리해준다.

$$dW=\int{\sigma_{x}d\varepsilon_{xx}(dxdydz)}$$

 

추가로, 단위 부피당 변형 에너지는 변형 에너지를 부피로 나눠주면 된다.

$$U_{0}=\frac{dW}{dV}=\int{\sigma_{x}d\varepsilon_{xx}}$$

 

이때 \(\sigma_{x}=E\varepsilon_{x}\)이므로

$$U_{0}=\int{E\varepsilon_{x}d\varepsilon_{x}}=\frac{1}{2}E\varepsilon_{x}^{2}$$

 

여기서 더 정리할 수 있다. 다시 \(\sigma_{x}=E\varepsilon_{x}\)이므로

$$U_{0}=\frac{1}{2}E\varepsilon_{x}^{2}=\frac{1}{2}E\varepsilon_{x}\varepsilon_{x}=\frac{1}{2}\sigma_{x}\varepsilon_{x}$$

 

다시, \(\sigma_{x}=E\varepsilon_{x}\)이므로

$$U_{0}=\frac{1}{2}\sigma_{x}\varepsilon_{x}=\frac{1}{2}\frac{1}{E}\sigma_{x}E\varepsilon_{x}=\frac{1}{2E}\sigma_{x}^{2}$$

 

$$U_{0}=\frac{1}{2E}\sigma_{x}^{2}$$

 

나중에 기회가 되면 해당 그래프가 strain-stress curve의 아랫면의 면적과 동일하다는 그림을 첨부하고자 한다.