변형률 변환식

시간관계상 앞부분에 대한 내용은 생략하고 진행합니다.

$$\varepsilon=\varepsilon_{x}\cos^{2}\phi+\gamma_{xy}\sin\phi\cos\phi+\varepsilon_{y}\sin^{2}\phi\cdots(1)$$

 

이를 변형된 좌표계에 맞춰 바꿔주면 다음과 같다.

$$\varepsilon=\varepsilon_{x^{\prime}}\cos^{2}(\phi-\theta)+\gamma_{x^{\prime}y^{\prime}}\sin(\phi-\theta)\cos(\phi-\theta)+\varepsilon_{y^{\prime}}\sin^{2}(\phi-\theta)$$

 

이때 \(\psi=\phi-\theta\)라 하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\varepsilon=\varepsilon_{x^{\prime}}\cos^{2}\psi+\gamma_{x^{\prime}y^{\prime}}\sin\psi\cos\psi+\varepsilon_{y^{\prime}}\sin^{2}\psi$$

 

그리고 삼각함수 공식을 적용해주도록 한다.

$$\cos\phi=\cos(\phi-\theta+\theta)=\cos(\psi+\theta)=\cos\psi\cos\theta-\sin\psi\sin\theta$$

$$\sin\phi=\sin(\phi-\theta+\theta)=\sin(\psi+\theta)=\sin\psi\cos\theta+\cos\psi\sin\theta$$

 

$$\cos^{2}\phi=\cos^{2}\phi\cos^{2}\theta-2\cos\psi\cos\theta\sin\psi\sin\theta+\sin^{2}\psi\sin^{2}\theta$$

$$\sin^{2}\phi=\sin^{2}\psi\cos^{2}\theta+2\sin\psi\cos\theta\cos\psi\sin\theta+\cos^{2}\psi\sin^{2}\theta$$

 

그리고 위 식들을 식(1)에 적절히 대입한다.

$$\varepsilon=\varepsilon_{x}({\color{blue}\cos^{2}\psi}\cos^{2}\theta-2\cos\psi\cos\theta\sin\psi\sin\theta+\sin^{2}\psi\sin^{2}\theta)$$

$$+\gamma_{xy}\sin\phi\cos\phi$$

$$+\varepsilon_{y}(\sin^{2}\psi\cos^{2}\theta+2\sin\psi\cos\theta\cos\psi\sin\theta+{\color{blue}\cos^{2}\psi}\sin^{2}\theta)$$

 

$$=(\varepsilon_{x}\cos^{2}\theta+\varepsilon_{y}\sin^{2}\theta)\cos^{2}\psi+(\varepsilon_{x}\sin^{2}\theta+\varepsilon_{y}\cos^{2}\theta)\sin^{2}\psi$$

$$-2\varepsilon_{x}\cos\psi\cos\theta\sin\psi\sin\theta+2\varepsilon_{y}\sin\psi\cos\theta\cos\psi\sin\theta+\gamma_{xy}\sin\phi\cos\phi$$

 

아직 \(\phi\)항이 남아 있으므로 그 부분도 마저 풀어주도록 한다.

$$\sin\phi=\sin(\psi+\theta)=\sin\psi\cos\theta+\cos\psi\sin\theta$$

$$\cos\phi=\cos(\psi+\theta)=\cos\psi\cos\theta-\sin\psi\sin\theta$$

 

나머지 부분은 오늘 저녁에 마저 작성할 예정입니다.