변형률 변환식

시간관계상 앞부분에 대한 내용은 생략하고 진행합니다.

$$\epsilon ={\epsilon }_x{\cos }^2\varphi +{\gamma }_{xy}\sin \varphi \cos \varphi +{\epsilon }_y{\sin }^2\varphi \cdots (1)$$

 

이를 변형된 좌표계에 맞춰 바꿔주면 다음과 같다.

$$\epsilon ={\epsilon }_{x^{\prime }}{\cos }^2(\varphi -\theta )+{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}\sin (\varphi -\theta )\cos (\varphi -\theta )+{\epsilon }_{y^{\prime }}{\sin }^2(\varphi -\theta )$$

 

이때 $\psi =\varphi -\theta$라 하면 다음과 같이 정리할 수 있다.

$$\epsilon ={\epsilon }_{x^{\prime }}{\cos }^2\psi +{\gamma }_{x^{\prime }{y}^{\prime }}\sin \psi \cos \psi +{\epsilon }_{y^{\prime }}{\sin }^2\psi$$

 

그리고 삼각함수 공식을 적용해주도록 한다.

$$\cos \varphi =\cos (\varphi -\theta +\theta )=\cos (\psi +\theta )=\cos \psi \cos \theta -\sin \psi \sin \theta$$

$$\sin \varphi =\sin (\varphi -\theta +\theta )=\sin (\psi +\theta )=\sin \psi \cos \theta +\cos \psi \sin \theta$$

 

$${\cos }^2\varphi ={\cos }^2\varphi {\cos }^2\theta -2\cos \psi \cos \theta \sin \psi \sin \theta +{\sin }^2\psi {\sin }^2\theta$$

$${\sin }^2\varphi ={\sin }^2\psi {\cos }^2\theta +2\sin \psi \cos \theta \cos \psi \sin \theta +{\cos }^2\psi {\sin }^2\theta$$

 

그리고 위 식들을 식(1)에 적절히 대입한다.

$$\epsilon ={\epsilon }_x({\cos }^2\psi {\cos }^2\theta -2\cos \psi \cos \theta \sin \psi \sin \theta +{\sin }^2\psi {\sin }^2\theta )$$

$$+{\gamma }_{xy}\sin \varphi \cos \varphi$$

$$+{\epsilon }_y({\sin }^2\psi {\cos }^2\theta +2\sin \psi \cos \theta \cos \psi \sin \theta +{\cos }^2\psi {\sin }^2\theta )$$

 

$$=({\epsilon }_x{\cos }^2\theta +{\epsilon }_y{\sin }^2\theta ){\cos }^2\psi +({\epsilon }_x{\sin }^2\theta +{\epsilon }_y{\cos }^2\theta ){\sin }^2\psi$$

$$-2{\epsilon }_x\cos \psi \cos \theta \sin \psi \sin \theta +2{\epsilon }_y\sin \psi \cos \theta \cos \psi \sin \theta +{\gamma }_{xy}\sin \varphi \cos \varphi$$

 

아직 $\varphi$항이 남아 있으므로 그 부분도 마저 풀어주도록 한다.

$$\sin \varphi =\sin (\psi +\theta )=\sin \psi \cos \theta +\cos \psi \sin \theta$$

$$\cos \varphi =\cos (\psi +\theta )=\cos \psi \cos \theta -\sin \psi \sin \theta$$

 

나머지 부분은 오늘 저녁에 마저 작성할 예정입니다.