Strain eneryg (2)

지난번 strain energy (1)에 이어 작성합니다.

한 글에 내용이 너무 길면 보기 싫어지고, 읽기도 귀찮아지므로 2편으로 나누었습니다.

앞선 글에서는 단위 부피당 변형 에너지를 구하였으나 이번에는 그냥 변형 에너지를 구하고자 한다.

$$U=\iint{\sigma_{x}d\varepsilon_{xx}dV}$$

 

계산의 편의를 위해 안에 있는 적분을 먼저 수행해주도록 한다.

$$\int{E\varepsilon_{xx}d\varepsilon_{xx}}$$

$$=\frac{1}{2}E\varepsilon_{x}^{2}=\frac{1}{2}\sigma_{x}\varepsilon_{x}=\frac{1}{2E}\sigma_{x}^{2}$$

 

계산을 마치면 다시 적분항에 넣어준다.

$$U=\int{\frac{\sigma_{x}^{2}}{2E}dV}$$

$$=\int{\frac{\sigma_{x}^{2}}{2E}{dxdydz}}$$

$$=\int{\frac{\sigma_{x}^{2}}{2E}dxdA}$$

$$=\int{\frac{1}{2E}\frac{P^{2}}{dA^{2}}dxdA}$$

$$=\int{\frac{1}{2E}\frac{P^{2}}{dA}dx}$$

 

정리해주면

$$U=\int_{0}^{L}{\frac{P^{2}}{2AE}dx}$$

 

이상입니다.