Strain eneryg (2)

지난번 strain energy (1)에 이어 작성합니다.

한 글에 내용이 너무 길면 보기 싫어지고, 읽기도 귀찮아지므로 2편으로 나누었습니다.

앞선 글에서는 단위 부피당 변형 에너지를 구하였으나 이번에는 그냥 변형 에너지를 구하고자 한다.

$$U=\iint {\sigma }_{x}d{\epsilon }_{xx}dV$$

 

계산의 편의를 위해 안에 있는 적분을 먼저 수행해주도록 한다.

$$\int E{\epsilon }_{xx}d{\epsilon }_{xx}$$

$$=\frac{1}{2}E{\epsilon }_x^2=\frac{1}{2}{\sigma }_x{\epsilon }_x=\frac{1}{2E}{\sigma }_x^2$$

 

계산을 마치면 다시 적분항에 넣어준다.

$$U=\int \frac{{\sigma }_x^2}{2E}dV$$

$$=\int \frac{{\sigma }_x^2}{2E}dxdydz$$

$$=\int \frac{{\sigma }_x^2}{2E}dxdA$$

$$=\int \frac{1}{2E}\frac{P^2}{d{A}^2}dxdA$$

$$=\int \frac{1}{2E}\frac{P^2}{dA}dx$$

 

정리해주면

$$U={\int }_0^L\frac{P^2}{2AE}dx$$

 

이상입니다.