Center of mass and Centroid

지난 글에 이어 작성합니다.

3차원에서 물체의 질량은 체적밀도와 부피의 곱으로 정의된다.

이때 2차원을 다룰 경우 물체의 질량은 면적밀도와 면적의 곱으로 정의할 수 있다.

$$$$

 

이를 그대로 \(f(x)\)

 

$$A=\int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]dx}$$

$$M=\rho \int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]dx}$$

 

$$M_{x-axis}=m_{i}y_{i}$$

$$y_{i}=\frac{f(x)+g(x)}{2}$$

* \(x\)축을 기준으로 \(y\)높이 만큼 떨어진 거리에서 모멘트를 구하므로 \(y_{i}\)가 언급된 것이다.

* 우리는 해당 면적이 균질하다고 가정하므로 평균을 적용해 \(y_{i}\)를 표현할 수 있다.

 

위 식을 정리해보면

$$M=m\times r$$

$$=\rho \int_{a}^{b}{[f(x)-g(x)]dx}\times \frac{f(x)+g(x)}{2}$$

$$=\frac{\rho}{2}\int_{a}^{b}{[f^{2}(x)-g^{2}(x)]dx}$$

 

지난 글에서 배운 내용을 그대로 적용해본다. (질량에서 면적으로 바뀌는 것)

$$=\frac{\frac{\rho}{2}\int_{a}^{b}{[f^{2}(x)-g^{2}(x)]dx}}{\rho A}$$

$$=\frac{1}{2A}\int_{a}^{b}{[f^{2}(x)-g^{2}(x)]dx}$$

 

조금만 더 잘 다듬으면 고체역학에서 언급되는 1차 모멘트와 2차 모멘트를 잘 서술할 수 있을 것으로 기대된다.

 

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정리하자면, 물체가 균일/균질(homogeneous)할 경우 무게중심과 도심의 위치는 일치한다.

이러한 이유 때문에 우리가 도심과 무게중심을 잘 헷갈리는 것.

 

Moment

$$M=r\times m$$

 

The first moments of the area

$$Q=\int{ydA}$$

 

단순 모멘트가 팔길이에 질량을 곱해 얻을 수 있다면 1차 단면 모멘트는 질량 대신 면적을 곱해준다는 점이 특징이다.

 

Centroid

$$\bar{x}=\frac{Q}{A}=\frac{\int xdA}{\int dA}$$

 

Center of mass (Center of gravity)

$$C_{x}=\frac{\int xdm}{m}$$

 

Reference

컴퓨터원용 고체역학 Mechanics of SOLIDS. Appendix A p727

YouTube, The Organic Chemistry Tutor, 'Center of Mass & Centroid Problems - Calculus'