오일러 공식(Euler formula)

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파동에 대한 공식을 보면 일정한 주기를 가지는 삼각함수가 자주 등장한다.

따라서 이들을 해석하기 위해서는 삼각함수를 적절하게 조합한 Euler formula를 잘 숙지하고 있어야 한다.

특히, 파동은 곱게 실수 영역(real domain)에서 다루지 않고 복소수 영역(complex domain)에서 다룰 때가 많다.

그래도 다행히 공학적인 문제를 풀 때에는 허수부(imaginary)를 고려할 필요가 없어 실수부만 취하면 된다.

그렇게 되면 \(e^{ix}=\cos x\)라 보아도 무방하다.

 

$$\sin x=x-\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{5}}{5!}-\frac{x^{7}}{7!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n+1)!}}x^{2n+1}$$

$$\cos x=1-\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{4}}{4!}-\frac{x^{6}}{6!}+\cdots=\sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(-1)^{n}}{(2n)!}x^{2n}} $$

$$e^{x}=1+x+\frac{x^{2}}{2!}+\frac{x^{3}}{3!}+\frac{x^{4}}{4!}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{x^{n}}{n!}}$$

$$e^{ix}=1+ix+\frac{(ix)^{2}}{2!}+\frac{(ix)^{3}}{3!}+\frac{(ix)^{4}}{4!}+\cdots = \sum_{n=0}^{\infty}{\frac{(ix)^{n}}{n!}}$$

 

$$e^{ix}=\cos x+i\sin x$$

 

참고로 이 \(e\), base of the natural logarirhm, (우리나라에서는 자연상수라고 불린다.)은 앞으로 파동(wave)을 이해하는데 필수적이므로 추후에 더욱 자세히 다룰 예정이다.

 

Reference

Advanced Engineering Mathematics, Erwin Kreyszig 10th edition p.168

Youtube, Veritasium 「지면 실업자가 되는 수학 배틀 : 허수는 어떻게 만들어 졌을까?」