편미분 전미분 (partial and total)

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수학은 안타깝게도 서양에서 온 학문이다.

그러다보니 한국어로 바꾸면 전미분과 완전미분처럼 얼핏 비슷해 보이는 개념들이 존재한다.

그리고 편미분은 다양한 변수를 함께 고려해야 하는 공학 문제에서 밥먹듯이 등장하는 개념이라 정리해두었다.

 

다음과 같은 함수가 있다고 가정하자.

$$z=F(x,y)=f(x)+g(y)+h(x)k(x)$$

 

\(x\)에 대한 편미분(partial differentiation)

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial F(x,y)}{\partial x}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}+\frac{\partial g(y)}{\partial x}+\frac{\partial h(x)k(y)}{\partial x}$$

$$=\frac{\partial f(x)}{\partial x}+0+k(y)\frac{\partial h(x)}{\partial x}$$

$$\frac{\partial z}{\partial x}=\frac{\partial f(x)}{\partial x}+k(y)\frac{\partial h(x)}{\partial x}$$

 

\(y\)에 대한 편미분(partial differentiation)

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial F(x,y)}{\partial y}=\frac{\partial f(x)}{\partial y}+\frac{\partial g(y)}{\partial y}+\frac{\partial h(x)k(y)}{\partial y}$$

$$=0+\frac{\partial g(y)}{\partial y}+h(x)\frac{\partial k(y)}{\partial y}$$

$$\frac{\partial z}{\partial y}=\frac{\partial g(y)}{\partial y}+h(x)\frac{\partial k(y)}{\partial y}$$

 

전미분(total differential)

if \(t=t(x,y)\)

$$\frac{dz}{dt}=\frac{dF(x,y)}{dt}=\frac{df(x)}{dt}+\frac{dg(y)}{dt}+\frac{dh(x)}{dt}k(y)+h(x)\frac{dk(y)}{dt}$$

$$=\frac{df(x)}{dx}\frac{dx}{dt}+\frac{dg(y)}{dy}{dy}{dt}+\frac{dh(x)}{dx}\frac{dx}{dt}k(y)+h(x)\frac{dk(y)}{dy}\frac{dy}{dt}$$

$$=\left[\frac{df(x)}{dx}+\frac{dh(x)}{dx}k(y)\right]\frac{dx}{dt}+\left[\frac{dg(y)}{dy}+h(x)\frac{dk(y)}{dy}\right]\frac{dy}{dt}$$

$$\frac{dz}{dt}=\frac{\partial z}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial z}{\partial y}\frac{dy}{dt}$$

 

$$dz=\frac{\partial z}{\partial x}dx+\frac{\partial z}{\partial y}dy$$

 

참고자료

네이버 블로그 KonpaU, 13장 편미분, 전미분(음함수의 미분 확장개념)