Hankel function

아래 보이는 $h_n^{(2)}(x)$는 Hankel function이며 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

 

$$h_n^{(2)}(x)=j_n(x)-i{n}_n(x)$$

 

그리고 미분을 한 번 해준 $h_n^{(2)}$는 아래와 같이 구할 수 있다.

 

$${\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)}^m(z^{n+1}{f}_n(z))=z^{n-m+1}{f}_{n-m}(z)$$

$${\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)}^{m=1}[x^{n+1}{h}_n^{(2)}(x)]=x^{n-1+1}{h}_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)[x^{n+1}{h}_n^{(2)}(x)]=x^n{h}_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$\frac{d}{dx}[x^{n+1}{h}_n^{(2)}(x)]=x^{n+1}{h}_{n-1}^{(2)}(x)$$

 

식이 조금 지저분하므로 좌변만 따로 전개하도록 하자.

 

$$\frac{d}{dx}(x^{n+1}{h}_n^{(2)}(x))$$

$$=(n+1)x^n{h}_n^{(2)}(x)+x^{n+1}{h}_n^{(2)\prime }(x)$$

 

미분을 마친 좌변을 다시 우변과 결합한 뒤 식을 적절하게 정리해준다.

 

$$x^{n+1}{h}_n^{(2)\prime }(x)=-(n+1)x^n{h}_n^{(2)}(x)+x^{n+1}{h}_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$x{h}_n^{(2)\prime }(x)=-(n+1)h_n^{(2)}(x)+x{h}_{n-1}^{(2)}(x)$$

 

다시 식$(a)$의 분모를 자세히 보도록 하자. (분자는 앞서 정리가 되었음을 기억하자.)

$$F_n{h}_n^{(2)}(x)-x{h}_n^{(2)\prime }(x)\cdots (c)$$

$$h_n^{(2)}(x)=j_n(x)-i{n}_n(x)$$

$$h_{n-1}^{(2)}(x)=j_{n-1}(x)-i{n}_{n-1}(x)$$

$$x{h}_n^{(2)\prime }(x)=-(n+1)h_n^{(2)}(x)+x{h}_{n-1}^{(2)}(x)$$

 

Hankel function $h_n^{(2)}(x)$을 적절하게 준비했다면 그대로 식 $(c)$대입하도록 한다.

$$F_n[j_n(x)-i{n}_n(x)]+(n+1)[j_n(x)-i{n}_n(x)]-x{h}_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$F_n[j_n(x)-i{n}_n(x)]+(n+1)[j_n(x)-i{n}_n(x)]-x[j_{n-1}(x)-i{n}_{n-1}(x)]$$

 

Bessel function $j_n(x)$과 Nuemann function $n_n(x)$끼리 묶어준다.

$$F_n{j}_n(x)+(n+1)j_n(x)-x{j}_{n-1}(x)$$

$$-i[F_n{n}_n(x)+(n+1)n_n(x)-x{n}_{n-1}(x)]$$

 

앞에서 사용했던 미분 정리는 Bessel function과 Neumann function에도 그대로 적용 가능하다.

$$x{h}_n^{(2)\prime }(x)=-(n+1)h_n^{(2)}(x)+x{h}_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$x{j}_n^{\prime }(x)=-(n+1)j_n(x)+x{j}_{n-1}(x)$$

$$x{n}_n^{\prime }(x)=-(n+1)n_n(x)+x{n}_{n-1}(x)$$

 

따라서 정리해주면

$$F_n{j}_n(x)-x{j}_n^{\prime }(x)$$

$$-i[F_n{n}_n(x)-x{n}_n^{\prime }(x)]$$

 

$$a=c=-[F_n{j}_n(x)-x{j}_n^{\prime }(x)]$$

$$b=[F_n{n}_n(x)-x{n}_n^{\prime }(x)]$$

$$-a-bi$$

 

그리고 우리가 제일 처음에 언급한 식을 보도록 하자.

$$c_n=\frac{c}{a-bi}$$

 

Reference

Digital Library of Mathematical Functions, 10.51 Recurrence Relations and Derivatives

"Spherical Hankel Function of the Second Kind" (https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/s/s577.htm)