Hankel function

아래 보이는 \(h_{n}^{(2)}(x)\)는 Hankel function이며 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

 

$$h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-in_{n}(x)$$

 

그리고 미분을 한 번 해준 \(h_{n}^{(2)}\)는 아래와 같이 구할 수 있다.

 

$$\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^{m}(z^{n+1}f_{n}(z))=z^{n-m+1}f_{n-m}(z)$$

$$\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^{m=1}[x^{n+1}h_{n}^{(2)}(x)]=x^{n-1+1}h_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)[x^{n+1}h_{n}^{(2)}(x)]=x^{n}h_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$\frac{d}{dx}[x^{n+1}h_{n}^{(2)}(x)]=x^{n+1}h_{n-1}^{(2)}(x)$$

 

식이 조금 지저분하므로 좌변만 따로 전개하도록 하자.

 

$$\frac{d}{dx}\left(x^{n+1}h_{n}^{(2)}(x)\right)$$

$$=(n+1)x^{n}h_{n}^{(2)}(x)+x^{n+1}h_{n}^{(2)\prime}(x)$$

 

미분을 마친 좌변을 다시 우변과 결합한 뒤 식을 적절하게 정리해준다.

 

$$x^{n+1}h_{n}^{(2)\prime}(x)=-(n+1)x^{n}h_{n}^{(2)}(x)+x^{n+1}h_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$xh_{n}^{(2)\prime}(x)=-(n+1)h_{n}^{(2)}(x)+xh_{n-1}^{(2)}(x)$$

 

다시 식\((a)\)의 분모를 자세히 보도록 하자. (분자는 앞서 정리가 되었음을 기억하자.)

$$F_{n}h_{n}^{(2)}(x)-xh_{n}^{(2)\prime}(x)\cdots (c)$$

$$h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-in_{n}(x)$$

$$h_{n-1}^{(2)}(x)=j_{n-1}(x)-in_{n-1}(x)$$

$$xh_{n}^{(2)\prime}(x)=-(n+1)h_{n}^{(2)}(x)+xh_{n-1}^{(2)}(x)$$

 

Hankel function \(h_{n}^{(2)}(x)\)을 적절하게 준비했다면 그대로 식 \((c)\)대입하도록 한다.

$$F_{n}\left[j_{n}(x)-in_{n}(x)\right]+(n+1)\left[j_{n}(x)-in_{n}(x)\right]-xh_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$F_{n}\left[j_{n}(x)-in_{n}(x)\right]+(n+1)\left[j_{n}(x)-in_{n}(x)\right]-x[j_{n-1}(x)-in_{n-1}(x)]$$

 

Bessel function \(j_{n}(x)\)과 Nuemann function \(n_{n}(x)\)끼리 묶어준다.

$$F_{n}j_{n}(x)+(n+1)j_{n}(x)-xj_{n-1}(x)$$

$$-i\left[F_{n}n_{n}(x)+(n+1)n_{n}(x)-xn_{n-1}(x)\right]$$

 

앞에서 사용했던 미분 정리는 Bessel function과 Neumann function에도 그대로 적용 가능하다.

$$xh_{n}^{(2)\prime}(x)=-(n+1)h_{n}^{(2)}(x)+xh_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$xj_{n}^{\prime}(x)=-(n+1)j_{n}(x)+xj_{n-1}(x)$$

$$xn_{n}^{\prime}(x)=-(n+1)n_{n}(x)+xn_{n-1}(x)$$

 

따라서 정리해주면

$$F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)$$

$$-i\left[F_{n}n_{n}(x)-xn_{n}^{\prime}(x)\right]$$

 

$$a=c=-\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]$$

$$b=\left[F_{n}n_{n}(x)-xn_{n}^{\prime}(x)\right]$$

$$-a-bi$$

 

그리고 우리가 제일 처음에 언급한 식을 보도록 하자.

$$c_{n}=\frac{c}{a-bi}$$

 

Reference

Digital Library of Mathematical Functions, 10.51 Recurrence Relations and Derivatives

"Spherical Hankel Function of the Second Kind" (https://archive.lib.msu.edu/crcmath/math/math/s/s577.htm)