Hasegawa(1969) 1번 식 해설 1편

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Hasegawa 논문에서 입자는 rigid가 아닌 elastic이라 상정하였으므로 음파에 노출되었을 때 변형이 일어난다.

따라서 입자의 변형(deformation)을 해석하고자 고체역학에서 배운 개념을 도입할 것이며 시작은 용어 정리이다.

 

전단응력 shear stress: \(\tau\)

수직응력 normal stress: \(\sigma\)

전단변형률 shear strain: \(\gamma\)

수직변형률 normal strain: \(\varepsilon\)

텐서표기법 tensor notation: \(\tau_{xy}\)

> \(x\)를 법선벡터(normal vector)로 가지는 평면에 \(y\) 방향으로 가하는 힘이다.

 

그리고 이를 바탕으로 미소체적(infinitesimal volume)에 힘이 어떻게 인가되는지 알아보도록 하자.

정육면체는 총 6개의 면을 가지며 서로 마주하는 변을 하나로 보면 총 3개의 면(surface)을 가진다.

그리고 하나의 면에는 면에 수직인 힘과 면과 평행한 방향으로 작용하는 두 종류의 힘, 이렇게 총 3 종류의 힘이 존재한다.

따라서, 정육면체에는 총 9가지 방향의 힘을 고려할 수 있다.

 

 

이를 행렬(matrix)로 나타내면 아래와 같다.

 

$$\varepsilon = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \frac{1}{2}\gamma_{xy} & \gamma_{xz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{yx} & \varepsilon_{yy} & \frac{1}{2}\gamma_{yz} \\ \frac{1}{2}\gamma_{zx} & \frac{1}{2}\gamma_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix} $$

 

그리고 지금부터는 위 행렬이 어떻게 나왔는지에 대해 알아볼 것이다.

전단응력을 고려하기 위해 원점 \(O\)에서의 속도와 \(x\)축 위의 임의의 한 점 \(A\)에서의 속도가 다르다고 가정하자.

그리고 \(x\) 방향의 속도는 \(u\), \(y\) 방향의 속도는 \(v\) 라 가정하자.

그럼 원점 \(O\)는 좌표계에서 \((x_{0},y_{0})\)이므로 이곳에서의 \(y\) 방향의 속도는 다음과 같이 표기할 수 있다.

$$ v_{0}=v(x_{0}, y_{0})\approx v(x_{0})$$

 

마찬가지로 임의의 한 점 \(A\)는 \(A(x_{0}+dx, y_{0})\)이므로 이곳에서의 속도는 아래와 같다.

$$v_{A}=v(x_{0}+dx, y_{0})\approx v(x_{0}+dx)$$

 

여기에 테일러 전개(Taylor expansion)을 적용해주면 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

$$v(x_{0}+dx, y_{0})=v(x_{0},y_{0})+\frac{\partial v_{0}}{\partial x}dx$$

 

따라서 원점과 임의의 한 점 간의 속도 차이는 아래와 같다.

$$v_{A}-v_{0}=\frac{\partial v_{0}}{\partial x}dx$$

 

그리고 '거리'는 '속력에 시간을 곱한 것'이므로 상단부만 밀린 경우 밀린 '거리'는 아래와 같다.

$$s=\frac{\partial v_{0}}{\partial x}dx\times dt$$

 

그리고 밀린 '정도'를 보기 위해 각도를 도입하도록 한다.

이때 \(\alpha\approx \tan\alpha\)라 할 수 있으므로 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$\alpha\approx\tan\alpha=\frac{\frac{\partial v_{0}}{\partial x}dx\times dt}{dx}=\frac{\partial v_{0}}{\partial x}dt$$

 

여기서 단위를 보면 길이 단위를 길이로 나누어주었으므로 단위가 없는 무차원수임을 알 수 있다.

그리고 시간 당 변형률(shear strain rate)는 다음과 같다.

$$\frac{d\alpha}{dt}=\frac{\partial v_{0}}{\partial x}$$

---

동일한 계산을 원점 \(O\)와 \(y\)축 위의 임의의 한 점 \(B\) 사이에서 수행한다.

$$u_{0}=u(x_{0}, y_{0})$$

$$u_{B}=u(x_{0}, y_{0}+dy)=u(x_{0}, y_{0})+\frac{\partial u_{0}}{\partial y}dy$$

$$u_{B}-u_{0}=\frac{\partial u_{0}}{\partial y}dy$$

$$\beta\approx\tan\beta=\frac{\frac{\partial u_{0}}{\partial y}dy \times dt}{dy}=\frac{\partial u_{0}}{\partial y}dt$$

$$\frac{d\beta}{dt}=\frac{\partial u_{0}}{\partial y}$$

 

그리고 이 둘에 대한 평균 shear strain rate를 구해주면 \(xy\) 평면에 대한 변형률을 구할 수 있다.

$$\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y}\right)=\frac{1}{2}\gamma_{xy}$$

 

동일한 방법을 다른 평면에도 적용해주면 다음과 같다.

$$\varepsilon_{yz}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z}\right)=\frac{1}{2}\gamma_{yz}$$

$$\varepsilon_{xz}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\right)=\frac{1}{2}\gamma_{xz}$$

 

이를 앞서 언급한 tensor notation으로 표현하자면 아래와 같다.

(이때 shear strain rate in Cartesian coordinates이다.)

$$\varepsilon_{ij}=\frac{1}{2}\left(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i}\right)$$

 

Furtherfmore:

$$[\varepsilon]= \begin{bmatrix} \varepsilon_{xx} & \varepsilon_{xy} & \varepsilon_{xz} \\ \varepsilon_{yx} & \varepsilon_{yy} & \varepsilon_{yz} \\ \varepsilon_{zx} & \varepsilon_{zy} & \varepsilon_{zz} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{\partial u}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial y} & \frac{\partial u}{\partial z} \\ \frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial v}{\partial y} & \frac{\partial v}{\partial z} \\ \frac{\partial w}{\partial x} & \frac{\partial w}{\partial y} & \frac{\partial w}{\partial z} \\ \end{bmatrix} $$

 

$$[\gamma_{ij}]= \begin{bmatrix} 0 & \gamma_{xy} & \gamma_{xz} \\ \gamma_{yx} & 0 & \gamma_{yz} \\ \gamma_{zx} & \gamma_{zy} & 0 \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 & \frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x} & \frac{\partial u}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial x}\\ \frac{\partial v}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial y} & 0 & \frac{\partial v}{\partial z}+\frac{\partial w}{\partial y}\\ \frac{\partial w}{\partial x}+\frac{\partial u}{\partial z} & \frac{\partial w}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial z} & 0\\ \end{bmatrix}$$

 

Fluid mechanics 3rd edtion p.152 - p.154

컴퓨터원용 고체역학 Mechanics of SOLIDS p.547 - p.533