Hasegawa(1969) 1번 식 해설 3편

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보시는 것을 적극 권장 드립니다.]

 

2편의 글에 걸쳐 우리는 아래와 같이 2개의 식을 유도하였다.

$${\color{blue}\varepsilon_{ij}}=\frac{1}{2}\left(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i}\right)$$

$$\tau_{ij}=\lambda \delta_{ij}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+2\mu{\color{blue}\varepsilon_{ij}}$$

 

그리고 이 두 식을 결합하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$$\tau_{ij}=\lambda \delta_{ij}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+\mu(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i})\cdots(1)$$

 

이번에는 세 번째 식을 유도해볼 것이다.

바로 뉴턴의 제 2법칙을 앞서 다룬 tensor notation, einstein notation으로 표기하는 작업이다.

그래야 위에서 구한 식 (1)과 연결하여 이론을 전개해내갈 수 있다.

시작은 Infinitesimal volume for momentum conservation이다.

목표는 한 방향에 대해 미소체적 표면에 가해지는 모든 힘을 더하는 것이다.

이때 \(u\)는 앞서 \(x\)-velocity가 아닌 displacement임을 유의하자.

$$F=ma=\rho dV\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\rho\times\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\times dxdydz$$

$$m=\rho dV= \rho dxdydz$$

$$a=\frac{\partial \vec{v}}{\partial t}=\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}$$

 

Then,

$$\sigma=\frac{F}{A}~\Rightarrow~  F=\sigma A$$

$$F=\sigma_{xx}\cdot dydz$$

 

이를 기본 바탕으로 미소체적의 중심에서 각 면들은 모서리의 절반이므로 Taylor expansion과 함께

$$\sigma_{xx}(x+\frac{dx}{2})=\left(\sigma_{xx}+\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}\right)\frac{dx}{2}$$

$$\sigma_{xx}(x-\frac{dx}{2})=\left(\sigma_{xx}-\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}\right)\frac{dx}{2}$$

$$\sigma_{yx}(y+\frac{dy}{2})=\left(\sigma_{yx}+\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}\right)\frac{dy}{2}$$

$$\sigma_{yx}(y-\frac{dy}{2})=\left(\sigma_{yx}-\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}\right)\frac{dy}{2}$$

$$\sigma_{zx}(z+\frac{dz}{2})=\left(\sigma_{zx}+\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}\right)\frac{dz}{2}$$

$$\sigma_{zx}(z-\frac{dz}{2})=\left(\sigma_{zx}-\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}\right)\frac{dz}{2}$$

 

여기에 면적을 곱해주면 힘이 되므로 식은 아래와 같이 정리된다.

$$\left(\sigma_{xx}+\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2}\right)dydz-\left(\sigma_{xx}-\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2}\right)dydz$$

$$ +\left(\sigma_{yx}+\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}\frac{dy}{2}\right)dxdz-\left(\sigma_{yx}-\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}\frac{dy}{2}\right)dxdz$$

$$+\left(\sigma_{zx}+\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}\frac{dz}{2}\right)dxdy-\left(\sigma_{zx}-\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}\frac{dz}{2}\right)dxdy$$

$$ = \sum{F_{x}}=\left(\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}\right)dxdydz$$

 

$$F_{x}=\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}\cdot dxdydz = \left(\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}\right)dxdydz$$

$$\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\frac{\partial \sigma_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial \sigma_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial \sigma_{zx}}{\partial z}$$

 

Apply tensor notation and Einstein notation

$$\rho\frac{\partial^{2}u}{\partial t^{2}}=\rho\partial_{t}^{2}u_{i}=\sum_{j}{\partial_{j}{\color{red}\tau_{ij}}}$$

 

Then, recall equation (1) we derived above

$${\color{red}\tau_{ij}}=\lambda \delta_{ij}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+\mu(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i})\cdots(1)$$

 

Substitute \(\tau_{ij}\) of equation (2) with (1)

$$=\rho \partial_{t}^{2}u_{i}=\sum_{j}{\partial_{j}\left(\lambda \delta_{ij}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+\mu(\partial_{i}u_{j}+\partial_{j}u_{i})\right)}$$

 

Reference

Fluid mechanics 3rd edition p.463 Linear momentum equation