Hasegawa(1969) 1번 식 해설 3편

[모바일에서는 수식이 모두 LaTeX 그대로 나옵니다. 따라서 PC로 보시는 것을 적극 권장 드립니다.]

 

2편의 글에 걸쳐 우리는 아래와 같이 2개의 식을 유도하였다.

$${\epsilon }_{ij}=\frac{1}{2}({\partial }_i{u}_j+{\partial }_j{u}_i)$$

$${\tau }_{ij}=\lambda {\delta }_{ij}\sum _k{\epsilon }_{kk}+2\mu {\epsilon }_{ij}$$

 

그리고 이 두 식을 결합하면 아래와 같은 식을 얻을 수 있다.

$${\tau }_{ij}=\lambda {\delta }_{ij}\sum _k{\epsilon }_{kk}+\mu ({\partial }_i{u}_j+{\partial }_j{u}_i)\cdots (1)$$

 

이번에는 세 번째 식을 유도해볼 것이다.

바로 뉴턴의 제 2법칙을 앞서 다룬 tensor notation, einstein notation으로 표기하는 작업이다.

그래야 위에서 구한 식 (1)과 연결하여 이론을 전개해내갈 수 있다.

시작은 Infinitesimal volume for momentum conservation이다.

목표는 한 방향에 대해 미소체적 표면에 가해지는 모든 힘을 더하는 것이다.

이때 $u$는 앞서 $x$-velocity가 아닌 displacement임을 유의하자.

$$F=ma=\rho dV\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\rho \times \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\times dxdydz$$

$$m=\rho dV=\rho dxdydz$$

$$a=\frac{\partial \overrightarrow{v}}{\partial t}=\frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}$$

 

Then,

$$\sigma =\frac{F}{A}\Rightarrow F=\sigma A$$

$$F={\sigma }_{xx}\cdot dydz$$

 

이를 기본 바탕으로 미소체적의 중심에서 각 면들은 모서리의 절반이므로 Taylor expansion과 함께

$${\sigma }_{xx}(x+\frac{dx}{2})=({\sigma }_{xx}+\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x})\frac{dx}{2}$$

$${\sigma }_{xx}(x-\frac{dx}{2})=({\sigma }_{xx}-\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x})\frac{dx}{2}$$

$${\sigma }_{yx}(y+\frac{dy}{2})=({\sigma }_{yx}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y})\frac{dy}{2}$$

$${\sigma }_{yx}(y-\frac{dy}{2})=({\sigma }_{yx}-\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y})\frac{dy}{2}$$

$${\sigma }_{zx}(z+\frac{dz}{2})=({\sigma }_{zx}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z})\frac{dz}{2}$$

$${\sigma }_{zx}(z-\frac{dz}{2})=({\sigma }_{zx}-\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z})\frac{dz}{2}$$

 

여기에 면적을 곱해주면 힘이 되므로 식은 아래와 같이 정리된다.

$$({\sigma }_{xx}+\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2})dydz-({\sigma }_{xx}-\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}\frac{dx}{2})dydz$$

$$+({\sigma }_{yx}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}\frac{dy}{2})dxdz-({\sigma }_{yx}-\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}\frac{dy}{2})dxdz$$

$$+({\sigma }_{zx}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}\frac{dz}{2})dxdy-({\sigma }_{zx}-\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}\frac{dz}{2})dxdy$$

$$=\sum F_x=(\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z})dxdydz$$

 

$$F_x=\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}\cdot dxdydz=(\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yx}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z})dxdydz$$

$$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\frac{\partial {\sigma }_{xx}}{\partial x}+\frac{\partial {\sigma }_{yz}}{\partial y}+\frac{\partial {\sigma }_{zx}}{\partial z}$$

 

Apply tensor notation and Einstein notation

$$\rho \frac{{\partial }^{2}u}{\partial t^2}=\rho {\partial }_t^2{u}_i=\sum _j{\partial }_j{\tau }_{ij}$$

 

Then, recall equation (1) we derived above

$${\tau }_{ij}=\lambda {\delta }_{ij}\sum _k{\epsilon }_{kk}+\mu ({\partial }_i{u}_j+{\partial }_j{u}_i)\cdots (1)$$

 

Substitute ${\tau }_{ij}$ of equation (2) with (1)

$$=\rho {\partial }_t^2{u}_i=\sum _j{\partial }_j(\lambda {\delta }_{ij}\sum _k{\epsilon }_{kk}+\mu ({\partial }_i{u}_j+{\partial }_j{u}_i))$$

 

Reference

Fluid mechanics 3rd edition p.463 Linear momentum equation