Hasegawa(1969) 1번 식 해설 2편

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지난 글에 이어 다룰 내용은 poisson's ratio부터 시작된다.

$$\nu=-\frac{\varepsilon_{xx}}{\varepsilon_{yy}}$$

$$\Rightarrow \varepsilon_{yy}=-\frac{1}{\nu}\varepsilon_{xx}\cdots (1)$$

 

$$\sigma_{yy}=E\varepsilon_{yy}$$

$$\Rightarrow \varepsilon_{yy}=\frac{1}{E}\sigma_{yy}\cdots (2)$$

 

식(1)에 식(2)를 대입하면 아래와 같은 식을 구할 수 있다.

$$\varepsilon_{yy}=-\frac{1}{\nu}\varepsilon_{xx}=\frac{1}{E}\sigma_{yy}$$

 

이는 \(y\) 방향으로 수축할 때 \(x\) 방향으로 신장된 길이(\(\varepsilon_{yy}\))이다.

물론 그 반대도 가능하다. \(y\) 방향으로 신장될 때 \(x\) 방향으로 수축된 길이라 보아도 된다.

그리고 해당 개념을 동일하게 3차원으로 확장하면 각각의 방향에 대한 변형률을 알 수 있다.

 

$$\varepsilon_{xx}=\frac{1}{E}\sigma_{xx}$$

$$\varepsilon_{xx}=-\frac{\nu}{E}\sigma_{yy}$$

$$\varepsilon_{xx}=-\frac{\nu}{E}\sigma_{zz}$$

 

그리고 3차원으로 생각하면 \(x\)방향으로 인장할 때 \(y-z\) 방향으로 수축이 일어나므로 식은 아래와 같아진다.

$$\varepsilon_{xx}=\frac{1}{E}\left[\sigma_{xx}-\nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz})\right]\cdots(3)$$

 

동일한 개념을 \(y\),와 \(z\) 방향으로도 적용해주면 다음과 같다.

$$\varepsilon_{yy}=\frac{1}{E}\left[\sigma_{yy}-\nu(\sigma_{xx}+\sigma_{zz})\right]$$

$$\varepsilon_{zz}=\frac{1}{E}\left[\sigma_{yy}-\nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy})\right]$$

 

그리고 식(3)을 \(\sigma_{xx}\)에 대해 정리한다.

그래야만 앞에서 이전 글에서 살펴보았던 행렬을 만들 수 있다.

$$\varepsilon_{xx}=\frac{1}{E}\left[\sigma_{xx}-\nu(\sigma_{yy}+\sigma_{zz})\right]\cdots(3)$$

 

$$\varepsilon_{xx}=\frac{1}{E}\left[(1+\nu)\sigma_{xx}-\nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})\right]$$

$$E\varepsilon_{xx}=(1+\nu)\sigma_{xx}-\nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})$$

$$E\varepsilon_{xx}+\nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})=(1+\nu)\sigma_{xx}$$

$$\sigma_{xx}=\frac{E}{1+\nu}\varepsilon_{xx}+\frac{\nu}{1+\nu}(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})\cdots (4)$$

 

이제 \(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}\) 항만 잘 정리하면 된다.

앞에서 구했던 식들을 사용하도록 하자.

$$\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz}=\frac{1}{E}\left[(1+\nu)(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})-3\nu(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}\right]$$

$$=\frac{1-2\nu}{E}(\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz})$$

$$\sigma_{xx}+\sigma_{yy}+\sigma_{zz}=\frac{E}{1-2\nu}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz})\cdots(5)$$

 

식(4)에 식(5)를 넣어주면 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$\sigma_{xx}=\frac{E}{1+\nu}\varepsilon_{xx}+\frac{\nu E}{(1+\nu)(1-2\nu)}(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz})$$

 

그리고 계수 간의 관계(Lamé parameter)를 적용해주면 아래와 같이 정리할 수 있다.

[해당 관계식 중 하나는 고체역학 566 페이지에 유도 방법이 나오나 다른 하나는 도무지 모르겠다.]

 

$$2\mu=2G=\frac{E}{1+\nu}~~~~~\lambda=\frac{E\nu}{(1+\nu)(1-2\nu)}$$

$$\sigma_{xx}=2\mu\varepsilon_{xx}+\lambda(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz})\cdots(6)$$

 

자연스럽게 나머지 방향에 대해서도 아래와 같이 정리할 수 있다.

$$\sigma_{yy}=2\mu\varepsilon_{yy}+\lambda(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz})\cdots(6)$$

$$\sigma_{zz}=2\mu\varepsilon_{zz}+\lambda(\varepsilon_{xx}+\varepsilon_{yy}+\varepsilon_{zz})\cdots(6)$$

 

위에서는 대각선 행렬값들을 구하였다. 이제는 나머지 항들에 대해서도 계산을 해준다.

$$\sigma_{xy}=\tau_{xy}=G\gamma_{xy}\cdots(7)$$

$$2\tau_{xy}=2G\gamma_{xy}$$

 

이때 지난 글에서 유도하였던 아래 식을 적용한다.

$$\varepsilon_{xy}=\frac{1}{2}\gamma_{xy}=\frac{1}{2}\left(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x}\right)$$

$$\gamma_{xy}=2\varepsilon_{xy}\cdots(8)$$

 

식 (7)에 식 (8)을 대입해주면

$$2\sigma_{xy}=2\tau_{xy}=4G\varepsilon_{xy}$$

$$\sigma_{xy}=2G\varepsilon_{xy}=2\mu\varepsilon_{xy}~~~(\mu=G)$$

 

이제 지금까지 구한 내용들을 행렬로 정리해주면 아래와 같다.

$$\begin{bmatrix} \sigma_{11} & \sigma_{12} & \sigma_{13}\\ \sigma_{21} & \sigma_{22} & \sigma_{23}\\ \sigma_{31} & \sigma_{32} & \sigma_{33}\\ \end{bmatrix} = 2\mu \begin{bmatrix} \varepsilon_{11} & \varepsilon_{12} & \varepsilon_{13}\\ \varepsilon_{21} & \varepsilon_{22} & \varepsilon_{23}\\ \varepsilon_{31} & \varepsilon_{32} & \varepsilon_{33}\\ \end{bmatrix} +\lambda \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33})$$

 

그리고 행렬을 앞서 도입한 tensor notation으로 표현하면 아래와 같아진다.

$$\tau_{ij}=2\mu\varepsilon_{ij}+\lambda \textbf{I} (\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{zz})$$

 

그리고 kronecker delta와 einstein notation을 도입하면 조금 더 간결하게 표현할 수 있다.

$$\tau_{ij}=\lambda\delta_{ij}\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}+2\mu\varepsilon_{ij}$$

\(\blacksquare\)

 

참고로 kronecker delta와 einstein notation은 아래와 같다.

$$ \begin{bmatrix} \delta_{11} & \delta_{12} & \delta_{13}\\ \delta_{21} & \delta_{22} & \delta_{23}\\ \delta_{31} & \delta_{32} & \delta_{33}\\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 1\\ \end{bmatrix}$$

$$\delta_{ij}=\begin{cases} 1 ~~(m=n) \\ 2 ~~(m\neq n) \end{cases}$$

$$\sum_{k}{\varepsilon_{kk}}=\varepsilon_{11}+\varepsilon_{22}+\varepsilon_{33}$$

 

Reference

Wikipedia, Hooke's law

Wikipedia, Lamé parameter

Wikipedia, Identity matrix

Wikipedia, Trace