Hasegawa(1969) 1번 식 해설 2편

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지난 글에 이어 다룰 내용은 poisson's ratio부터 시작된다.

$$\nu =-\frac{{\epsilon }_{xx}}{{\epsilon }_{yy}}$$

$$\Rightarrow {\epsilon }_{yy}=-\frac{1}{\nu }{\epsilon }_{xx}\cdots (1)$$

 

$${\sigma }_{yy}=E{\epsilon }_{yy}$$

$$\Rightarrow {\epsilon }_{yy}=\frac{1}{E}{\sigma }_{yy}\cdots (2)$$

 

식(1)에 식(2)를 대입하면 아래와 같은 식을 구할 수 있다.

$${\epsilon }_{yy}=-\frac{1}{\nu }{\epsilon }_{xx}=\frac{1}{E}{\sigma }_{yy}$$

 

이는 $y$ 방향으로 수축할 때 $x$ 방향으로 신장된 길이(${\epsilon }_{yy}$)이다.

물론 그 반대도 가능하다. $y$ 방향으로 신장될 때 $x$ 방향으로 수축된 길이라 보아도 된다.

그리고 해당 개념을 동일하게 3차원으로 확장하면 각각의 방향에 대한 변형률을 알 수 있다.

 

$${\epsilon }_{xx}=\frac{1}{E}{\sigma }_{xx}$$

$${\epsilon }_{xx}=-\frac{\nu }{E}{\sigma }_{yy}$$

$${\epsilon }_{xx}=-\frac{\nu }{E}{\sigma }_{zz}$$

 

그리고 3차원으로 생각하면 $x$방향으로 인장할 때 $y-z$ 방향으로 수축이 일어나므로 식은 아래와 같아진다.

$${\epsilon }_{xx}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})]\cdots (3)$$

 

동일한 개념을 $y$,와 $z$ 방향으로도 적용해주면 다음과 같다.

$${\epsilon }_{yy}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{yy}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{zz})]$$

$${\epsilon }_{zz}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{yy}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy})]$$

 

그리고 식(3)을 ${\sigma }_{xx}$에 대해 정리한다.

그래야만 앞에서 이전 글에서 살펴보았던 행렬을 만들 수 있다.

$${\epsilon }_{xx}=\frac{1}{E}[{\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})]\cdots (3)$$

 

$${\epsilon }_{xx}=\frac{1}{E}[(1+\nu ){\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})]$$

$$E{\epsilon }_{xx}=(1+\nu ){\sigma }_{xx}-\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})$$

$$E{\epsilon }_{xx}+\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})=(1+\nu ){\sigma }_{xx}$$

$${\sigma }_{xx}=\frac{E}{1+\nu }{\epsilon }_{xx}+\frac{\nu }{1+\nu }({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})\cdots (4)$$

 

이제 ${\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz}$ 항만 잘 정리하면 된다.

앞에서 구했던 식들을 사용하도록 하자.

$${\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz}=\frac{1}{E}[(1+\nu )({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})-3\nu ({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz}]$$

$$=\frac{1-2\nu }{E}({\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz})$$

$${\sigma }_{xx}+{\sigma }_{yy}+{\sigma }_{zz}=\frac{E}{1-2\nu }({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})\cdots (5)$$

 

식(4)에 식(5)를 넣어주면 아래와 같이 정리할 수 있다.

$${\sigma }_{xx}=\frac{E}{1+\nu }{\epsilon }_{xx}+\frac{\nu E}{(1+\nu )(1-2\nu )}({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})$$

 

그리고 계수 간의 관계(Lamé parameter)를 적용해주면 아래와 같이 정리할 수 있다.

[해당 관계식 중 하나는 고체역학 566 페이지에 유도 방법이 나오나 다른 하나는 도무지 모르겠다.]

 

$$2\mu =2G=\frac{E}{1+\nu }\lambda =\frac{E\nu }{(1+\nu )(1-2\nu )}$$

$${\sigma }_{xx}=2\mu {\epsilon }_{xx}+\lambda ({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})\cdots (6)$$

 

자연스럽게 나머지 방향에 대해서도 아래와 같이 정리할 수 있다.

$${\sigma }_{yy}=2\mu {\epsilon }_{yy}+\lambda ({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})\cdots (6)$$

$${\sigma }_{zz}=2\mu {\epsilon }_{zz}+\lambda ({\epsilon }_{xx}+{\epsilon }_{yy}+{\epsilon }_{zz})\cdots (6)$$

 

위에서는 대각선 행렬값들을 구하였다. 이제는 나머지 항들에 대해서도 계산을 해준다.

$${\sigma }_{xy}={\tau }_{xy}=G{\gamma }_{xy}\cdots (7)$$

$$2{\tau }_{xy}=2G{\gamma }_{xy}$$

 

이때 지난 글에서 유도하였던 아래 식을 적용한다.

$${\epsilon }_{xy}=\frac{1}{2}{\gamma }_{xy}=\frac{1}{2}(\frac{\partial u}{\partial y}+\frac{\partial v}{\partial x})$$

$${\gamma }_{xy}=2{\epsilon }_{xy}\cdots (8)$$

 

식 (7)에 식 (8)을 대입해주면

$$2{\sigma }_{xy}=2{\tau }_{xy}=4G{\epsilon }_{xy}$$

$${\sigma }_{xy}=2G{\epsilon }_{xy}=2\mu {\epsilon }_{xy}(\mu =G)$$

 

이제 지금까지 구한 내용들을 행렬로 정리해주면 아래와 같다.

$$\left[\begin{array}{ccc}{\sigma }_{11}& {\sigma }_{12}& {\sigma }_{13}\\ {\sigma }_{21}& {\sigma }_{22}& {\sigma }_{23}\\ {\sigma }_{31}& {\sigma }_{32}& {\sigma }_{33}\end{array}\right]=2\mu \left[\begin{array}{ccc}{\epsilon }_{11}& {\epsilon }_{12}& {\epsilon }_{13}\\ {\epsilon }_{21}& {\epsilon }_{22}& {\epsilon }_{23}\\ {\epsilon }_{31}& {\epsilon }_{32}& {\epsilon }_{33}\end{array}\right]+\lambda \left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]({\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33})$$

 

그리고 행렬을 앞서 도입한 tensor notation으로 표현하면 아래와 같아진다.

$${\tau }_{ij}=2\mu {\epsilon }_{ij}+\lambda \mathbf{\text{I}}({\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{zz})$$

 

그리고 kronecker delta와 einstein notation을 도입하면 조금 더 간결하게 표현할 수 있다.

$${\tau }_{ij}=\lambda {\delta }_{ij}\sum _k{\epsilon }_{kk}+2\mu {\epsilon }_{ij}$$

$◼$

 

참고로 kronecker delta와 einstein notation은 아래와 같다.

$$\left[\begin{array}{ccc}{\delta }_{11}& {\delta }_{12}& {\delta }_{13}\\ {\delta }_{21}& {\delta }_{22}& {\delta }_{23}\\ {\delta }_{31}& {\delta }_{32}& {\delta }_{33}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& 1& 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right]$$

$${\delta }_{ij}=\{\begin{array}{l}1(m=n)\\ 2(m\ne n)\end{array}$$

$$\sum _k{\epsilon }_{kk}={\epsilon }_{11}+{\epsilon }_{22}+{\epsilon }_{33}$$

 

Reference

Wikipedia, Hooke's law

Wikipedia, Lamé parameter

Wikipedia, Identity matrix

Wikipedia, Trace