Hasegawa(1969) 8번, 10번, 11식 해설

Pixabay

[해당 페이지는 휴대폰이 아닌 컴퓨터로 보시길 적극 권장 드립니다.]

 

오늘 다룰 내용은 전적으로 새로운 수학적 기술을 사용해야 할 필요가 없는 평이한 내용을 다룰 것이다.

다만 값이 조금 복잡해 부호 하나만 틀려도 꽤나 애먹는 그런 내용이다.

그리고 아쉽게도 식(8)이 어떻게 나온 것인지에 대한 설명은 담고 있지 않다.

 

$$c_{n}=-\frac{\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]}{\left[F_{n}h_{n}^{(2)}(x)-xh_{n}^{(2)\prime}(x)\right]}\cdots(a)$$

 

우리가 기본적으로 사용할 flow는 아래와 같다.

$$c_{n}=\frac{c}{a+bi}$$

$$=\frac{c(a-bi)}{(a+bi)(a-bi)}$$

$$=\frac{c(a-bi)}{a^{2}-b^{2}i^{2}}$$

$$=\frac{c(a-bi)}{a^{2}+b^{2}}$$

$$=\frac{ac}{a^{2}+b^{2}}-i \frac{bc}{a^{2}+b^{2}}\cdots(b)$$

 

그리고 논문에서 주어진 식은 다음과 같다.

$$c_{n}=\alpha_{n}+i\beta_{n}$$

$$\alpha_{n}= -\frac {\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]^{2}} {\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[F_{n}n_{n}(x)-xn_{n}^{\prime}(x)\right]^{2}}$$

$$\beta_{n}= -\frac {\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]\left[F_{n}n_{n}(x)-xn_{n}^{\prime}(x)\right]} {\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]^{2}+\left[F_{n}n_{n}(x)-xn_{n}^{\prime}(x)\right]^{2}}$$

 

더럽게 복잡하지만 일정한 위 \((b)\)식과 함께 보면 일정한 규칙이 있음을 알 수 있다.

$$a=\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]$$

$$c=-\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]$$

$$b=\left[F_{n}n_{n}(x)-xn_{n}^{\prime}(x)\right]$$

 

$$\alpha=\frac{ac}{a^{2}+b^{2}}$$

$$\beta=\frac{bc}{a^{2}+b^{2}}$$

$$c_{n}= \frac{ac}{a^{2}+b^{2}} + i \frac{bc}{a^{2}+b^{2}}~~(a=-c)$$

 

그리고는 영화 테넷처럼 역으로 거슬러 올라가보자.

$$c_{n}= \frac{ac}{a^{2}+b^{2}} + i \frac{bc}{a^{2}+b^{2}}$$

$$= \frac{ac+i(bc)}{a^{2}+b^{2}}$$

$$=\frac{c(a+bi)}{a^{2}+b^{2}}$$

$$=\frac{c(a+bi)}{(a+bi)(a-bi)}$$

$$=\frac{c}{a-bi}$$

 

그대로 \(a, b, c~\)값을 대입해주면

$$c_{n}=-\frac{F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)}{\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]-i\left[F_{n}n_{n}(x)-xn_{n}^{\prime}(x)\right]}$$

 

이때 식 \((a)\)에서 등장하는 \(h_{n}^{(2)}(x)\)는 Hankel function이며 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

(Hankel function에 대한 자세한 이야기, 왜 이렇게 되는지는 다음에 다루도록 한다.)

$$h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-in_{n}(x)$$

 

Hankel function에 맞춰 우리가 처음 시작한 \(a\) 와 비슷하게 만들어주면 아래와 같아진다.

$$c_{n}=\frac{F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)} {F_{n} \left[ j_{n}(x)-in_{n}(x) \right] -x\left[ j_{n}^{\prime}(x)-in_{n}^{\prime}(x) \right]}$$

 

$$c_{n}=-\frac {\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]} {[F_{n}h_{n}^{(2)}(x)] -x\left[j_{n}^{\prime}(x)-in_{n}^{\prime}(x) \right]}$$

 

그리고 여기서 Bessel function, Neumann function, Henkel function의 미분형을 도입한다.

(왜 아래와 같은 식이 나왔는지는 다음에 다루도록 한다.)

$$j_{n}^{\prime}(x)=-\frac{(n+1)}{x}j_{n}(x)+j_{n-1}^{\prime}(x)$$

$$n_{n}^{\prime}(x)=-\frac{(n+1)}{x}n_{n}(x)+n_{n-1}^{\prime}(x)$$

$$h_{n}^{(2)\prime}(x)=-\frac{(n+1)}{x}h_{n}^{(2)}(x)+h_{n-1}^{(2)\prime}(x)$$

 

그대로 대입해주면 아래와 같아진다.

하지만, 식이 길어지므로 다음부터는 일부만 담아 전개하였다.

$$c_{n}= -\frac {\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]} {[F_{n}h_{n}^{(2)}(x)] -x\left[\left(-\frac{(n+1)}{x}j_{n}(x)+j_{n-1}(x)\right) -i\left(-\frac{(n+1)}{x}n_{n}(x)+n_{n-1}(x)\right) \right]}$$

 

$$-\frac{(n+1)}{x}[j_{n}(x)-in_{n}(x)]+[j_{n-1}(x)-in_{n-1}(x)]$$

$$=-\frac{(n+1)}{x}h_{n}^{(2)}(x)+h_{n-1}^{(2)}(x)$$

$$=h_{n}^{(2)\prime}(x)$$

 

$$c_{n}=-\frac{\left[F_{n}j_{n}(x)-xj_{n}^{\prime}(x)\right]}{[F_{n}h_{n}^{(2)}(x)-xh_{n}^{(2)\prime}(x)]}$$

 

결국, 최종적으로 얻게 되는 식은 제일 처음 소개된 식과 동일함을 볼 수 있다.

 

 

참고자료

Wikipedia, Bessel function

Mathematics Stack Exchange, 'Anyone know who to take the 2nd derivative of a spherical bessel function?'