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대학원 공부노트

Hasegawa(1969) 8번, 10번, 11식 해설 본문

대학원 공부/Hasegawa

Hasegawa(1969) 8번, 10번, 11식 해설

lightbulb_4999 2022. 7. 20. 17:00

Pixabay

[해당 페이지는 휴대폰이 아닌 컴퓨터로 보시길 적극 권장 드립니다.]

 

오늘 다룰 내용은 전적으로 새로운 수학적 기술을 사용해야 할 필요가 없는 평이한 내용을 다룰 것이다.

다만 값이 조금 복잡해 부호 하나만 틀려도 꽤나 애먹는 그런 내용이다.

그리고 아쉽게도 식(8)이 어떻게 나온 것인지에 대한 설명은 담고 있지 않다.

 

cn=[Fnjn(x)xjn(x)][Fnhn(2)(x)xhn(2)(x)](a)

 

우리가 기본적으로 사용할 flow는 아래와 같다.

cn=ca+bi

=c(abi)(a+bi)(abi)

=c(abi)a2b2i2

=c(abi)a2+b2

=aca2+b2ibca2+b2(b)

 

그리고 논문에서 주어진 식은 다음과 같다.

cn=αn+iβn

αn=[Fnjn(x)xjn(x)]2[Fnjn(x)xjn(x)]2+[Fnnn(x)xnn(x)]2

βn=[Fnjn(x)xjn(x)][Fnnn(x)xnn(x)][Fnjn(x)xjn(x)]2+[Fnnn(x)xnn(x)]2

 

더럽게 복잡하지만 일정한 위 (b)식과 함께 보면 일정한 규칙이 있음을 알 수 있다.

a=[Fnjn(x)xjn(x)]

c=[Fnjn(x)xjn(x)]

b=[Fnnn(x)xnn(x)]

 

α=aca2+b2

β=bca2+b2

cn=aca2+b2+ibca2+b2  (a=c)

 

그리고는 영화 테넷처럼 역으로 거슬러 올라가보자.

cn=aca2+b2+ibca2+b2

=ac+i(bc)a2+b2

=c(a+bi)a2+b2

=c(a+bi)(a+bi)(abi)

=cabi

 

그대로 a,b,c 값을 대입해주면

cn=Fnjn(x)xjn(x)[Fnjn(x)xjn(x)]i[Fnnn(x)xnn(x)]

 

이때 식 (a)에서 등장하는 hn(2)(x)는 Hankel function이며 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다.

(Hankel function에 대한 자세한 이야기, 왜 이렇게 되는지는 다음에 다루도록 한다.)

hn(2)(x)=jn(x)inn(x)

 

Hankel function에 맞춰 우리가 처음 시작한 a 와 비슷하게 만들어주면 아래와 같아진다.

cn=Fnjn(x)xjn(x)Fn[jn(x)inn(x)]x[jn(x)inn(x)]

 

cn=[Fnjn(x)xjn(x)][Fnhn(2)(x)]x[jn(x)inn(x)]

 

그리고 여기서 Bessel function, Neumann function, Henkel function의 미분형을 도입한다.

(왜 아래와 같은 식이 나왔는지는 다음에 다루도록 한다.)

jn(x)=(n+1)xjn(x)+jn1(x)

nn(x)=(n+1)xnn(x)+nn1(x)

hn(2)(x)=(n+1)xhn(2)(x)+hn1(2)(x)

 

그대로 대입해주면 아래와 같아진다.

하지만, 식이 길어지므로 다음부터는 일부만 담아 전개하였다.

cn=[Fnjn(x)xjn(x)][Fnhn(2)(x)]x[((n+1)xjn(x)+jn1(x))i((n+1)xnn(x)+nn1(x))]

 

(n+1)x[jn(x)inn(x)]+[jn1(x)inn1(x)]

=(n+1)xhn(2)(x)+hn1(2)(x)

=hn(2)(x)

 

cn=[Fnjn(x)xjn(x)][Fnhn(2)(x)xhn(2)(x)]

 

결국, 최종적으로 얻게 되는 식은 제일 처음 소개된 식과 동일함을 볼 수 있다.

 

 

참고자료

Wikipedia, Bessel function

Mathematics Stack Exchange, 'Anyone know who to take the 2nd derivative of a spherical bessel function?'

 

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