대학원 공부노트

열역학에서 보면 매우 간단한 식인데 직관적으로 이해가 안되는 경우가 있다. 이를 위해 한 번 이해하면 그때 어떻게 이해했는지, 논리를 전개했는지 정리해두는 편이 바람직하다. $$\Delta U = \Delta Q - \Delta W$$ 위 식은 '계(system)의 내부에너지 변화량'은 '계에 가해진 열량'에서 '계가 외부에 한 일'로 표현할 수 있다는 말이다. 즉, 계가 가진 에너지는 계가 외부로부터 받은 열만큼 더해지고, 계가 외부로부터 한 일만큼 덜어진다는 뜻이다. 자주 헷갈리는 이유는 '일을 해줬는데 왜 부호가 마이너스인가?'라는 질문에서 시작된다. 방향이 잘못된 것이다. 일을 더해주는 것이 아니라 일을 외부로 하는 것이다. 참고로 위 식은 아래와 같은 방법으로 유도된다. $$E=mgh+\frac..

백만(million)분의 일 = 1/1,000,000 = 0.0000001 $$1 \rm{ppm}=\frac{1}{1,000,000}=\frac{1}{100}\times\frac{1}{10000}=\frac{1}{100}\times 0.0001=0.0001%$$ $$100 \rm{ppm}=0.01%$$ Reference Celloom, 'PPM과 %, 무엇이 다른가요?'

아래 보이는 \(h_{n}^{(2)}(x)\)는 Hankel function이며 다음과 같이 풀어 쓸 수 있다. $$h_{n}^{(2)}(x)=j_{n}(x)-in_{n}(x)$$ 그리고 미분을 한 번 해준 \(h_{n}^{(2)}\)는 아래와 같이 구할 수 있다. $$\left(\frac{1}{z}\frac{d}{dz}\right)^{m}(z^{n+1}f_{n}(z))=z^{n-m+1}f_{n-m}(z)$$ $$\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)^{m=1}[x^{n+1}h_{n}^{(2)}(x)]=x^{n-1+1}h_{n-1}^{(2)}(x)$$ $$\left(\frac{1}{x}\frac{d}{dx}\right)[x^{n+1}h_{n}^{(2)}(x)]=x^{n}h_{n..

$$\psi(x,t)=f(x^{\prime})=f(x\mp vt)$$ First, differentiate with \(x\) $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial x^{\prime}}{\color{blue}\frac{\partial x^{\prime}}{\partial x}}=\frac{\partial f}{\partial x^{\prime}}$$ $$x^{\prime}=x\mp vt$$ $${\color{blue}\frac{\partial x^{\prime}}{\partial x}}=1$$ $$\frac{\partial \psi}{\partial x}=\frac{\partia..

Associated Legendre Polynomial: $$P_{\ell}^{m}(x)=(-1)^{m}(1-x^{2})^{m/2}\frac{d^{m}}{dx^{m}}P_{\ell}(x)$$ 이때 \(x=\cos\theta\)라 한다면 $$P_{\ell}^{m}(x=\cos\theta)=(-1)^{m}(1-\cos^{2}\theta)^{m/2}\frac{d^{m}}{d(\cos\theta)^{m}}P_{\ell}(x=\cos\theta)$$ $$P_{\ell}^{m}(\cos\theta)=(-1)^{m}(\sin^{2}\theta)^{m/2}\frac{d^{m}}{d(\cos\theta)^{m}}P_{\ell}(\cos\theta)$$ $$\frac{dx}{d\theta}=-\sin\theta$$ $$d..

$$(1-x^{2})\frac{d^{2}P_{n}(x)}{dx^{2}}-2x\frac{dP_{n}(x)}{dx}+n(n+1)P_{n}(x)=0$$ $$(1-x^{2})\frac{d^{2}P_{n}(x)}{dx^{2}}+(-2x)\frac{dP_{n}(x)}{dx}+n(n+1)P_{n}(x)=0$$ $$(1-x^{2})\frac{d}{dx}\frac{dP_{n}(x)}{dx}+\frac{d}{dx}(1-x^{2})\frac{dP_{n}(x)}{dx}+n(n+1)P_{n}(x)=0$$ $$\frac{d}{dx}\left[(1-x^{2})\frac{dP_{n}(x)}{dx}\right]+n(n+1)P_{n}(x)\cdots(a)$$ First, substitute \(n\rightarrow m\) of equ..

지난 내용에서 파동은 시간 영역과 공간 영역으로 나눠짐을 확인하였다. 그리고 말미에 이 둘을 하나로 통합할 수 있는 phase domain에 대해 짧게 소개했다. 오늘은 이 phase domain에 대해 자세히 알아보고자 한다. (phase domain은 제가 임의로 정한 이름이니 주의 바랍니다.) 우선 time domain과 space domain의 원점을 합친다. 앞선 글에서 반지름의 길이가 1인 단위원을 도입하였으므로 원점을 통일하여도 크게 문제될 게 없다. 그러면 아래와 같이 \(z\)축은 amplitude를, \(x\)축은 시간을, \(y\)축은 공간을 나타낸다. (이때 '공간' 상으로 퍼져 나가는 음파와 내가 말하는 '공간'축은 동일한 개념이 아니니 주의하자.) $$t=\frac{T}{\lam..

$$\langle f,g\rangle=\int_{a}^{b}{r(x)f(x)g(x)dx}=0$$ Here, \(r(x)~\)is nonnegative weight function and we usually put them 1. $$\langle f,g \rangle=\int_{a}^{b}{f(x)g(x)dx}=0$$ Simple example of orthogonality 1: $$\int_{0}^{2\pi}{\sin x\cos xdx}=0$$ $$u=\sin x$$ $$\frac{du}{dx}=\cos x$$ $$du=\cos x dx$$ $$\sin(x=0)=0~~~~\sin(x=2\pi)=0$$ $$\int_{0}^{0}{u du}=0$$ Simple example of orthogonality 2..